Passando dos limites
Esses dois retângulos foram cortados ao meio usando uma linha vermelha.
No retângulo 3 por 5: a linha vermelha cruza 6 lados de pequenos quadrados. Verifique se você concorda!
No retângulo de 4 por 6: a linha vermelha também cruza 6 lados de pequenos quadrados. (Não estamos contando o ponto onde a linha passa pelo canto de um quadrado.)
O DESAFIO
Aqui está um retângulo de 36 por 42 que foi cortado ao meio por uma linha vermelha. Quantos lados de pequenos quadrados a linha vermelha irá atravessar?
EXPLORAÇÃO
O que acontece com retângulos de outros tamanhos? Que padrões você observa?
Notas
O DESAFIO E A EXPLORAÇÃO
Uma diagonal passará por um canto de um retângulo exatamente quando a variação entre altura e largura dividir igualmente a altura e a largura do retângulo.
Considere o quadrado 4 por 6 da introdução. Como 2 é um fator comum de 4 e 6, podemos dividir o quadrado maior de 4 por 6 em uma coleção de quadrados 2 por 2, cada um com dimensões de 4/2 por 6/2. A diagonal do quadrado 4 por 6 será a diagonal de dois dos quadrados 2 por 3 e passará pelo canto entre eles.
No outro exemplo introdutório do retângulo 3 por 5, o maior divisor comum é 1, portanto a diagonal não passa por nenhum canto.
Suponha que o retângulo tenha dimensões n por m, e que o máximo divisor comum de n e m seja c.
c = 1: Neste caso, a diagonal cruzará todas as n – 1 linhas horizontais internas e todas as m – 1 linhas verticais internas. Portanto, ela cruzará um total de n + m – 2 lados da caixa.
c > 1: Divida a diagonal em c partes. Cada parte da diagonal será uma diagonal de um retângulo de n/c por m/c, onde o maior divisor comum de n/c e m/c é 1. Portanto, cada parte da diagonal cruzará n/c + m/c – 2 lados do retângulo. Todas as partes juntas cruzarão c x (n/c + m/c – 2) = n + m – 2c lados do retângulo.
A resposta geral é n + m – 2c. Vamos aplicar isso aos dois exemplos introdutórios e ao desafio.
Para um retângulo de 3 por 5, c será 1 e a resposta é 3 + 5 – (2 x 1) = 8 – 2 = 6.
Para um retângulo de 4 por 6, c será 2 e a resposta é 4 + 6 – (2 x 2) = 10 – 4 = 6.
Para o desafio do retângulo 36 por 42, c será 6 e a resposta é 36 + 42 – (2 x 6) = 78 – 12 = 66.