Quebra-cabeças da Semana

O DESAFIO

Um ponto importante a observar é que, para qualquer valor de n, existe um número limitado de soluções possíveis. Se 1/N = 1/A – 1/B, então 1/A – 1/N = 1/B > 0. 1/A – 1/N > 0 significa que N > A. Portanto, 1 < A < N, o que significa que existem, no máximo, N – 2 soluções, e elas podem ser encontradas, de forma um tanto trabalhosa, verificando todos os valores de A nesse intervalo.

Para denominadores que são números pares, digamos 2d, sempre existe 1/2d = 1/d – 1/2d.

Outra maneira de produzir diferenças é começar com uma fórmula de adição. A mais simples que temos é 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Isso se torna 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Uma versão mais geral disso é 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)], que se torna 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)], onde ab > 1.

Portanto, sempre que o denominador puder ser fatorado como a(a+b), com a e b positivos e ab > 1, teremos uma diferença. Em particular, como todo número n > 2 pode ser escrito como n = 1 x (1 + (n-1)), então toda fração egípcia pode ser escrita como uma diferença de pelo menos uma maneira. Aqui estão alguns exemplos:

• ⅓: a = 1, b = 2 resulta em ½ – ⅙
• ¼: a = 1, b = 3 resulta em ⅓ – 1/12
• ⅕: a = 1, b = 4 resulta em ¼ – 1/20
• ⅙: a = 1, b = 5 resulta em ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 resulta em ½ – ⅓
• 1/7: a = 1, b = 6 resulta em ⅙ – 1/42
• ⅛: a = 1, b = 7 resulta em 1/7 – 1/56; a = 2, b = 2 resulta em ¼ – 1/8

Isso não é tudo. Por exemplo, esquecemos de mencionar ⅙ = ¼ – 1/12.

Recorrendo à álgebra, para a > 1 e b > a > 1, considere 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Eliminando os denominadores, obtemos ab = n(ba), e resolvendo para n, obtemos n = ab/(ba). Sempre que encontrarmos valores de a e b que tornem essa equação válida, conseguiremos calcular a diferença.

Vamos analisar as soluções completas de alguns exemplos sob essa perspectiva e ver se conseguimos identificar um padrão.

• 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 x 4 / (4 - 2) = 3 x 12 / (12 – 3)
• 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)

Analisando esses exemplos, parece provável que haja apenas uma solução quando n é primo. Vejamos porquê. Se n é primo e a < n, então n = axb / (b – a) força b a ser um múltiplo de n, digamos b = nx c. Então n = ax nc / (nc – a) significa que ac / (nc – a) = 1, o que implica ac = nc – a. Reescrevendo isso, obtemos nc = a(c + 1). Como n é primo, temos c + 1 = n e a = c = n – 1. Portanto, a = n – 1 e b = n(n-1) são as únicas soluções.