Produtos Iguais
O DESAFIO
Encontre sete dígitos únicos diferentes que tornem esses três produtos iguais.
EXPLORAÇÃO
Depois de resolver este quebra-cabeça, pense no que o torna interessante. Como você poderia modificá-lo sem perder o interesse? O que aconteceria se você usasse adição em vez de multiplicação?
Notas
O DESAFIO:
Primeiramente, observe que 5 não pode ser um dos dígitos. Se fosse, poderia estar em, no máximo, dois dos grupos de três – isso significaria que um ou dois dos grupos teriam um fator de 5, mas o(s) restante(s) não. Da mesma forma, 7 não pode ser um dos dígitos.
Isso deixa os sete dígitos, 1, 2, 3, 4, 6, 8 e 9, que devem ser usados integralmente.
O uso da fatoração em números primos facilita bastante a compreensão do que acontece no restante da análise. Precisaremos equilibrar o número de fatores de 2 e o número de fatores de 3 entre os três produtos.
O produto desses sete dígitos é 27 × 34. Qual deve ser o produto comum? Deve ser pelo menos 23 × 32, pois haverá um 8 e um 9 em algum lugar na solução. Se multiplicarmos os três grupos, obtemos um produto total de 29 × 36. Como C e E são as únicas letras repetidas na multiplicação dos três produtos, isso significa que C × E = 22 × 32. A única maneira de fazer isso é ter C e E como sendo 4 e 9.
Uma verificação rápida revela que aumentar a potência para 2 ou 3 não funcionará.
Uma vez que definimos C = 9 e E = 4, o resto se segue rapidamente.
A resposta é: 1 8 9 2 4 3 6.
EXPLORAÇÃO:
O que torna este enigma interessante é o papel que os números primos desempenham. Além disso, a seleção de números é duas a mais do que o número de dígitos necessários, e podemos descartar exatamente duas das possibilidades.
Se usássemos adição em vez de multiplicação, haveria soluções demais. Um bom quebra-cabeça incorpora restrições que o reduzem a apenas algumas soluções.