Somas iguais – 2
O DESAFIO
Aqui está um diagrama criado pela sobreposição de três círculos. Os círculos sobrepostos criam seis regiões. Coloque um número em cada uma das seis regiões, usando cada um dos números de 1 a 6 exatamente uma vez, de modo que a soma dos números em cada círculo seja a mesma.
EXPLORAÇÃO
Quantas respostas diferentes você consegue encontrar? Como você sabe que encontrou todas?
Notas
O DESAFIO E A EXPLORAÇÃO
Aqui estão as quatro soluções. Para entender por que essas são as únicas, considere A, B e C como as três regiões onde dois círculos se intersectam, e seja Soma a soma comum dos três círculos. Calcule a soma total de duas maneiras. Como a soma dos três círculos, a soma é 3 x Soma. Como a soma de todos os seis números mais A, B e C, a soma é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. As duas somas são iguais, então temos 3 x Soma = 21 + A + B + C. Dividindo por 3, temos Soma = 7 + (A + B + C)/3.
Para que a soma seja um número inteiro nesta última equação, A + B + C deve ser divisível por 3. Isso permite apenas quatro possibilidades para A + B + C – 6, 9, 12 ou 15, e os valores correspondentes para a soma são 9, 10, 11 ou 12.
As quatro soluções apresentadas aqui têm valores de soma iguais a 9, 10, 11 e 12. Como veremos, essas são todas as soluções!
Para simplificar, observe que, se pegarmos uma solução e subtrairmos todos os elementos de 7, obteremos outra solução. Observe também que a nova solução terá um valor de Soma igual a 21 – (Soma antiga). Portanto, as soluções para os valores de Soma 9 e 10 nos dão as soluções para os valores de Soma 11 e 12.
Se A + B + C = 6, então A, B e C são 1, 2 e 3, e a Soma = 9. Essa é a solução superior esquerda.
Se A + B + C = 9, então a Soma = 10 e (A, B, C) é (1, 2, 6), (1, 3, 5) ou (2, 3, 4). Se você verificar, (1, 2, 6) e (2, 3, 4) são impossíveis. Isso deixa a solução superior direita como a única solução com Soma = 10.
Se você comparar “Somas Iguais – 2” com “Triângulos Mágicos – 1”, verá que se trata do mesmo quebra-cabeça!