Preenchendo quadrados com quadrados
Veja como preencher um quadrado grande com 1, 4 ou 7 quadrados.
O DESAFIO
Encontre outras quantidades de quadrados para preencher um quadrado grande. Você consegue fazer isso para 2, 3, 5, 6, 8, 9 ou 10 quadrados?
EXPLORAÇÃO
Sempre que possível, procure obter alguns desses números por meio de mais de uma forma.
Notas
O DESAFIO
Aqui está uma maneira sistemática de acumular várias contagens.
Quadrados: Um bom ponto de partida são os números quadrados. É fácil preencher um quadrado com 1, 4 e 9 quadrados, preenchendo-o, respectivamente, em um padrão de 1 por 1, 2 por 2 e 3 por 3.
Números pares: Após alguma experimentação, você pode criar padrões para 6, 8, 10 ou qualquer outro número par maior, da seguinte forma. Comece com um quadrado grande e, em seguida, coloque quadrados menores ao redor de dois lados dele, como nestes desenhos.
Substituindo um quadrado: O próximo grande passo é perceber que qualquer quadrado em uma solução pode ser substituído por qualquer outra solução existente. Por exemplo, isso foi feito na geração do padrão para o número 7 na introdução – o quadrado no canto inferior direito, correspondente ao “4”, foi substituído por quatro quadrados menores para gerar o “7”.
Sempre que um quadrado for substituído por quatro quadrados, o número total de quadrados aumentará em 3. Comece com a lista de soluções usando números quadrados e números pares: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 e 16, e então adicione 3 a cada entrada dessa lista para obter 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 e 17. Combinando essas duas listas, obtemos todas as possibilidades até 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17. Usando essas ideias, qualquer número acima de 17 é bastante fácil, e assim chegamos à conclusão de que:
Resposta: Todos os números são possíveis, exceto 2, 3 e 5.
EXPLORAÇÃO
Alguns desses números podem ser produzidos de mais de uma maneira. Por exemplo, o 9 pode ser feito como um padrão 3 por 3 ou como 6 mais três.
Existem muitos outros padrões que podem ser criados, mas que não são feitos da mesma forma que estes exemplos. Por exemplo, você pode começar com um quadrado de 4 por 4 e agrupar conjuntos de quadrados de 2 por 2 em quadrados individuais de 2 por 2 – cada vez que você fizer isso, reduzirá o número total em 3.