Encontrando Quadrados – 2
Nesta grade, estão desenhados em vermelho dois quadrados de 1 por 1 e um quadrado de 2 por 2 com lados horizontais e verticais.
O DESAFIO
Encontre o número de quadrados de todos os tamanhos e orientações nesta grade. Ao contrário do que é mostrado na introdução, nem todos esses quadrados terão lados horizontais e verticais!
EXPLORAÇÃO
Experimente com o que acontece em grades maiores e em grades que não sejam quadradas.
Notas
O DESAFIO
Os quadrados possíveis com lados horizontais e verticais têm comprimentos de lado que variam de 1 até um a menos que o número de linhas/colunas.
Para cada tamanho de quadrado, considere o canto superior esquerdo como a posição inicial. Você pode produzir todos os quadrados desse tamanho na grade movendo esse quadrado inicial. Você pode optar por movê-lo para a direita ou para baixo o número de posições restantes. Essas são escolhas independentes, então você obtém quadrado desse tamanho quadrado.
Por exemplo, imagine que você está contando quadrados de 2 por 2 em uma grade de 5 por 5. Um quadrado de 2 por 2 no canto superior esquerdo pode ser deslocado 1 ou 2 unidades para a direita e 1 ou 2 unidades para baixo. Portanto, existem 3 posições possíveis na horizontal (contando a posição original) e 3 posições possíveis na vertical. Assim, existem 3 x 3 desses quadrados de 1 por 1.
Para o problema original da grade 5 por 5, isso resulta na seguinte contagem de quadrados com lados horizontais e verticais:
- Quadrados 1 por 1: 4 x 4 = 16
- Quadrados 2 por 2: 3 x 3 = 9
- Quadrados 3 por 3: 2 x 2 = 4
- Quadrados 4 por 4: 1 x 1 = 1.
Existem um total de 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados possíveis com lados horizontais e verticais.
O segredo para os quadrados restantes é continuar contando de forma organizada. Vou descrever um quadrado pela função de um de seus lados. Por exemplo, um quadrado com um lado que se move uma unidade para a direita e uma para cima, ou um quadrado com um lado que se move duas unidades para a direita e uma para cima – esses são dois dos quadrados mostrados nesta ilustração.
Contando por deslizamento como antes, temos:
- 1 para a direita e 1 para cima: 3 x 3 = 9
- 2 para a direita e 1 para cima: 2 x 2 = 4
- 3 para a direita e 1 para cima: 1 x 1 = 1
- 2 para a esquerda e 1 para cima: 2 x 2 = 4
- 3 para a esquerda e 1 para cima: 1 x 1 = 1
- 2 para a direita e 2 para cima: 1 x 1 = 1
Portanto, o total é: 30 (de antes) + 9 + 4 + 1 + 4 + 1 = 49.
EXPLORAÇÃO
Você pode explorar outros tamanhos encontrando um sistema organizado de contagem!