Египатски разломци – 4
Пре око 4000 година, стари Египћани су развили систем у коме су сви њихови разломци били облика
1/n. Ово се назива Египатски разломциНеки египатски разломци могу се записати као разлика два
Египатски разломци. ⅓ = ½ – ⅙ је пример за то.
ИЗАЗОВ
Који египатски разломци се могу записати као разлика два египатска разломка у само
један начин? Који се могу написати на тачно два начина? Да ли постоје неки који имају више од два начина?
1/N = 1/A – 1/B
белешке
ИЗАЗОВ
Једна ствар коју треба напоменути је да за било које n постоји ограничен број могућих решења. Ако је 1/N = 1/A – 1/B, онда је 1/A – 1/N = 1/B > 0. 1/A – 1/N > 0 значи да је N > A. Дакле, 1 < A < N, што значи да постоји највише N – 2 решења, а она се могу пронаћи, помало мукотрпно, провером свих вредности A у том опсегу.
За имениоце који су парни бројеви, рецимо 2d, увек постоји 1/2d = 1/d – 1/2d.
Други начин за израчунавање разлика јесте почетак са формулом за сабирање. Најједноставнија коју имамо је 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Ово постаје 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Општија верзија овога је 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] што постаје 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] где је ab > 1.
Дакле, кад год се именилац може факторисати као a(a+b), где су a и b позитивни и ab > 1, имаћемо разлику. Конкретно, пошто се сваки број n > 2 може написати као n = 1 x (1 + (n-1)), онда се сваки египатски разломак може написати као разлика на барем један начин. Ево неколико примера:
- ⅓: a = 1, b = 2 даје ½ – ⅙
- ¼: a = 1, b = 3 даје ⅓ – 1/12
- ⅕: a = 1, b = 4 даје ¼ – 1/20
- ⅙: a = 1, b = 5 даје ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 даје ½ – ⅓
- 1/7: a = 1, b = 6 даје ⅙ – 1/42
- ⅛: a = 1, b = 7 даје 1/7 – 1/56; a = 2, b = 2 даје ¼ – 1/8
Ово није све. На пример, пропустили смо ⅙ = ¼ – 1/12.
Заронивши у алгебру, за a > 1 и b > a > 1, размотримо 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Чишћењем именилаца добијамо ab = n(ba), а решавањем за n добијамо n = ab/(ba). Кад год можемо да пронађемо a и b који ово чине да функционише, моћи ћемо да добијемо разлику.
Хајде да погледамо комплетна решења за неколико примера из ове тачке гледишта и видимо да ли можемо уочити образац.
- 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
- 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 – 3)
- 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
- 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
- 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
- 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)
Посматрајући ове примере, чини се вероватним да постоји само једно решење када је n прост број. Да видимо зашто је то тако. Ако је n прост број и a < n, онда n = axb / (b – a) приморава b да буде вишекратник броја n, рецимо b = nx c. Тада n = axnc / (nc – a) каже да је ac / (nc – a) = 1, што значи ac = nc – a. Преписивањем овога добијамо nc = a(c + 1). Пошто је n прост број, имамо c + 1 = n и a = c = n – 1. Дакле, a = n – 1 и b = n(n-1) је једино решење.