Undvika rektanglar – 2
X:en i ett rutnät kan bli hörnen på rektanglar med horisontella och vertikala sidor. X:en i det första rutnätet bildar två rektanglar. Målet är dock att undvika att skapa rektanglar. X:en i det andra rutnätet är placerade för att undvika att bilda några rektanglar.
UTMANINGEN
Placera så många X som möjligt i detta 4 x 4-rutnät och undvik att skapa några rektanglar.
EXPLORATION
Vad är det maximala antalet du kan ha för andra storlekar på rutnät? Ser du några mönster i dina svar?
Anmärkningar
UTMANINGEN
Att lösa detta generellt är ett mycket svårt, olöst problem inom matematik. Men det borde inte hindra en elev från att leka med det och lära sig en massa intressanta saker längs vägen.
Anta att rutnätet har m rader och n kolumner. I Undvika rektanglar – 1 fann vi följande resultat för de bästa svaren.
1:a och 2:a rad: Vi hade m + n – 1 X
3 rader: Vi hade m + n X med hjälp av ett startdiagram för ett 3 x 3-rutnät som såg ut som följande diagram. Med hjälp av det diagrammet, om vi hade 3 rader med fler kolumner, kan vi bara lägga till ett enda X i varje ny kolumn.
Fallet med 3 gånger 3 krävde ett annat utseende än strategin med 1 och 2 rader, och det är frestande att tro att exemplen med 4 eller fler rader också kommer att kräva lite nytänkande. För att konstatera det uppenbara vill vi skapa en samling kolumner som aldrig delar ett radpar med X i sig.
En strategi är att fylla i allt i den vänstra kolumnen utom den nedersta rutan, och sedan har resten av kolumnerna ett X i den nedersta raden och ett X i en annan rad. Detta kommer alltid att fungera och producerar (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X för ett m gånger m kvadratiskt rutnät. Denna metod för att fylla i rutan kan sedan utökas (genom att lägga till ett enda X i varje ny kolumn) till allt med m rader för att ge 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X, när m < n. Denna formel fungerar för alla svar för rutnät av alla storlekar (med mer än 1 rad) hittills.
EXPLORATION
Att leta efter de bästa svaren online visar att du kan göra 12 X för 5 x 5-fodralet (vilket du kan få med hjälp av mönstret), och sedan 16 X för 6 x 6-fodralet (visas här).
Efter det är talen som börjar på 7 gånger 7 i ordning: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 och 122. Matematiker har gjort många intressanta undersökningar av hur dessa fungerar, och dina matematiker kan ha jättekul med det också!
