Lika summor – 4
UTMANINGEN
Här är ett diagram skapat genom att fyra cirklar överlappar varandra. De överlappande cirklarna skapar åtta områden. Placera ett tal i vart och ett av de åtta områdena, och använd varje tal från 1 till 8 exakt en gång, så att summan av talen i varje cirkel är densamma.
EXPLORATION
Hur många olika svar kan du hitta? Tror du att det finns fler? Vad händer om du använder andra talområden? Finns det andra intressanta problem som detta med skärande cirklar?
Anmärkningar
UTMANINGEN OCH UTFORSKNINGEN
Börja med att bestämma vilka summor som är möjliga för den gemensamma summan för alla cirklar. Låt Summa vara det värdet. Låt A, B, C och D vara värdena för de fyra områden där två cirklar skär varandra. Summan av de fyra cirklarna är 4 x Summa, och den är också 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Då har vi ekvationen 4 x Summa = 36 + A + B + C + D, så Summa = 9 + (A + B + C + D) / 4. Det minsta som A + B + C + D kan ha är 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Detta måste vara delbart, så dess minsta möjliga värde är 12, vilket betyder att det minsta möjliga värdet är Summa = 9 + 12/4 = 12.
Observera att vilken lösning som helst kan omvandlas till en annan lösning genom att subtrahera alla poster från 9. Om du gör detta omvandlas den gamla Summan till 27 – Summan. Följaktligen är de enda möjliga värdena för Summan 12, 13, 14 och 15. Eftersom 12 och 15 är bundna till varandra, och 13 och 14 är bundna till varandra, behöver vi bara kontrollera lösningarna för 12 och 13.
Här är lösningar för Summa med värdena 12 och 13. Det visar sig att dessa är de enda lösningarna för dessa två summor.
Observera att talen i mitten av cirklar som inte vidrör varandra summerar till samma sak. Till exempel, i diagrammet längst till vänster är 8 + 4 = 5 + 7. Bevisa att detta alltid händer med lite algebra. Låt K och L vara värdena i mitten av två av de motsatta cirklarna, och låt M och N vara de andra två värdena. Om vi adderar regionerna för de två cirklarna för K och L får vi 2 x Sum = K + L + (A + B + C + D). På liknande sätt ger addering av regionerna för de två cirklarna för M och N 2 x Sum = M + N + (A + B + C + D). Detta tvingar K + L = M + N.
Observera också att eftersom 4 x Summa = 36 + A + B + C + D får vi 2 x Summa = M + N + (4 x Summa – 36). Om vi skriver om detta får vi M + N = 36 – 2 x Summa. För våra fyra värden på Summa, 12 till 15, är värdena på M + N 12, 10, 8 och 6.
Eftersom 12 = 4 + 8 = 5 + 7 är de enda sätten att få 12, är lösningen ovan för Summa = 12 den enda lösningen. Medan 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 antyder att det finns fler möjligheter för Summa = 13, visar en snabb kontroll av de tre möjliga paren (2, 8), (3, 7) och (4, 6) att lösningen ovan är den enda för Summa = 13.