Pannbalans med vikter – 1
En pannvåg visar när dess två sidor bär samma vikt eller om den ena sidan är tyngre än den andra.
UTMANINGEN
Du har en mycket stor samling vikter på 4 g och 7 g att använda på ena sidan av en våg. Genom att använda två vikter på 4 g kan du mäta ett föremål på 8 g. Vilka vikter kan du väga exakt och vilka kan du inte väga exakt?
EXPLORATION
Hur förändras dina resultat om du har vikter på 5 och 9 gram? Hur är det med andra viktpar som inte har någon gemensam delare större än 1? Kan du hitta några mönster i dina data?
Anmärkningar
UTMANINGEN
Detta kallas ofta Chicken McNugget-teoremet.
Börja med att göra något som inte är helt uppenbart. Gör en tabell över talen med rader som är lika långa som ett av de två talen du arbetar med. Vi gör raderna 7 långa, men det skulle fungera lika bra att göra dem 4 långa. Skriv sedan alla summor av multiplar av 4 och multiplar av 7 i rött, som visas nedan.
Några saker sticker ut när man ser informationen på det här sättet. En är att när en kolumn har fått en träff, fylls resten av den kolumnen. En annan är att multiplarna av 4 studsar runt i kolumnerna utan upprepning tills man får 4 x 7. Vid 4 x 7 har varje kolumn träffats av en multipel av 4.
Från och med 18 träffas alla tal. Detta är i linje med den allmänna satsen. Satsen säger att om de två talen är m och n och de är relativt primtal, så kommer alla tal att träffas från och med (m – 1) x (n – 1), vilket i vårt fall är 6 x 3 = 18.
En annan del av teoremet är att exakt hälften av talen från 1 till (m – 1) x (n – 1) kommer att träffas. I vårt fall är det 9 tal av 18.
EXPLORATION
För 5 och 9 börjar mättnadspunkten vid (5 – 1) x (9 – 1) = 4 x 8 = 32, och 16 av talen upp till 32 kommer att nås.