Kakelsättning av rektanglar
Du har två pussel. För en 1 gånger n rektangel, på hur många sätt kan du fylla den med en blandning av 1 gånger 1 kvadrater och 1 gånger 2 rektanglar? För en 2 gånger n rektangel, på hur många sätt kan du fylla den med 1 gånger 2 rektanglar?
UTMANINGEN
Varför ger dessa två pussel samma svar? Vilka är svaren när rektanglarna som fylls är 10 långa? Hur är det när de är 20 långa?
EXPLORATION
Hur liknar dessa två problem varandra och tidigare pussel? Hur förändras saker och ting i 1 gånger n-pusslet om vi använder 1 gånger 1 och 1 gånger 3 bitar istället? Hur förändras saker och ting i 1 gånger n-pusslet om vi använder 1 gånger 1, 1 gånger 2 och 1 gånger 3 bitar?
Anmärkningar
UTMANINGEN
Att se hur man tillämpar tidigare resultat på delar av eller hela ett nytt pussel är en kraftfull färdighet.
Dessa två pussel är exakt likadana till sin natur. Vertikala bitar i 2 x n-rektangeln motsvarar 1 x 1-bitar i 1 x n-rektangeln, och horisontella bitar i 2 x n-rektangeln motsvarar 1 x 2-bitar i 1 x n-rektangeln. Så det finns egentligen ingen skillnad mellan de två pusslen.
Dessutom är 1 x n rektangelpusslet precis som stegpusslet i "Fibonacci - 2". Att gå ett steg i taget är som att lägga in en 1 gånger 1-ruta, och att gå två steg i taget är som att lägga in en 1 gånger 2 rektangel. De två pusslen är desamma, så analysen och resultaten är desamma.
EXPLORATION
Om vi använder rektanglar som är 1 gånger 1 och 1 gånger 3, förändras mycket. Titta på de första värdena och fundera över hur de beräknas. Vi får 1, 1, 2, 3, 4, 6 och 9 för de första värdena. I allmänhet är nästa värde summan av det aktuella värdet och det två stegen före det. Det är enkelt nog att beräkna, men det är inte längre Fibonnaci-sekvensen.
Om vi använder 1 gånger 1, 1 gånger 2 och 1 gånger 3, förändras saker och ting ännu mer dramatiskt. Nu ges de första värdena av 1, 2, 4, 7, 13 och 24. Nästa värde i sekvensen är summan av de tre föregående värdena.
Följder som denna, som definierar sina nästa termer med en given formel som involverar föregående termer, kallas rekursiva följder. Fibonaccitalen är inte den enda rekursiva följden, men de är förmodligen den mest kända.