Uchungi wa Eratosthenes
Watoto hufurahia kuweka X na kutazama primes zikianguka kupitia ungo huu. Uchunguzi huu hutoa fursa za kugundua sifa nyingi za kuvutia za ugawaji na primes.
Anza na mstari wa nambari ulio na nambari kuanzia 1 hadi 25 (au kubwa zaidi ikiwa nafasi na uvumilivu vinaruhusu).
Andika nambari 2 chini yake. Kwenye mstari huu mpya weka X chini ya kila kizidishi cha 2.
Kisha, vuta nambari ya chini kabisa isiyo na X chini yake (3 katika hali hii) na uiweke kwenye mstari unaofuata. Andika 3 na uweke X kwenye mstari huo kwa vizidishi vyake vyote.
Endelea kushusha nambari na kuweka alama kwenye wingi wake.
Utakapomaliza, utakuwa umeondoa prime zote. Kumbuka kwamba 1 ni kitengo na si prime!
Maswali
Jadili maswali haya na mtoto wako anapocheza na ungo:
- Kwa nini nambari kuu ni nambari zinazotolewa chini?
- Je, ni ipi nambari ya mwisho ambayo unahitaji kuifuta? Kwa nini nambari nyingine za mwisho hazikuwa na manufaa?
- Kwa primes zote zilizokuwa na manufaa, ni zipi kati ya nyingi zao zilizotoa vikwazo vipya na zipi hazikuwa na manufaa? Je, kuna mpangilio katika jibu hilo?
- Kama ungekuwa na nambari, tuseme 53, ni nambari zipi kuu ungehitaji kuzigawanya ili kuthibitisha kwamba ni kuu?
Nyenzo ya Bonasi
kuanzishwa
Anza na mstari wa nambari ulio na nambari kuanzia 1 hadi 25 - au safu kubwa zaidi ikiwa nafasi na uvumilivu wako vinaruhusu.
Andika nambari 2 chini yake. Kwenye mstari hata kama unatumia nambari hii 2, weka X chini ya kila kizidishio cha 2.
Sasa, vuta nambari ya kwanza bila X chini yake (3 katika hali hii) na uiweke kwenye mstari unaofuata. Andika 3 na uweke X kwenye mstari huo kwa vijisehemu vyake vyote. Endelea hivi. Mwishoni, utakuwa umevuta prime zote. Kumbuka kwamba 1 ni kitengo na si prime!
Uchambuzi
Mchakato huu rahisi unaonyesha mambo ya kuvutia kuhusu primes. Angalia kama mtoto wako anaweza kuja na baadhi ya maswali haya - hata hivyo, ikiwa hayajitokezi kiasili, haya hapa ni baadhi ya maswali ya kuuliza.
a) Kwa nini nambari zinazoshuka chini ni prime?
Tuseme una nambari mchanganyiko. Tunataka kuonyesha kwamba nambari hii itakuwa na X chini yake. Kwa kuwa ni mchanganyiko, inaweza kugawanywa na nambari fulani, n, kati ya 1 na nambari hiyo. Ikiwa n ni nambari kuu, basi nambari yetu mchanganyiko ingekuwa na X chini yake kutoka n ikiwa nambari kuu ya awali. Ikiwa n si nambari kuu, basi ina X chini yake kutoka nambari kuu ya awali, iite p. Sasa, p hugawanya n sawasawa na n hugawanya nambari yetu mpya sawasawa, kwa hivyo p lazima igawanye nambari yetu mpya. Kwa hivyo, wakati wa kuashiria wingi wa p, X ingewekwa chini ya nambari yetu mpya.
b) Unapoweka X kwa ajili ya marudio ya prime, kuna baadhi ya nambari ambazo tayari zina X kutoka prime ya awali. Hilo hutokea lini na halitokei lini?
Hebu tuangalie vizidishi vya 5 kwenye ungo hapo juu. Vizidishi 5 x 2, 5 x 3, na 5 x 4 tayari vimepikwa. 5 x 5 pekee ndiyo mpya. Hii hutokea kwa sababu 5 x 2, 5 x 3, na 5 x 4 zote ni vizidishi vya 2 na 3, primes za awali. Ikiwa tunataka kuweka X katika sehemu mpya, lazima tuzidishe 5 kwa nambari ambazo zina vipengele vya primes pekee ambavyo ni 5 na zaidi. Kwa sababu ni jambo la kuchosha kidogo kufuatilia yote hayo, baadhi ya watu hufanya ni kufuta vizidishi visivyo vya kawaida na kuacha hapo.
c) Kwa ungo huu, ni nini kilikuwa kipande cha mwisho cha ungo kilichokuwa na X mpya muhimu katika safu yake?
Katika ungo huu, prime zenye X muhimu ni 2, 3, na 5. Vizidisho vya 7 na 11 vyote vilikuwa X vya zamani. Ukiangalia jibu la swali la mwisho, utaona jibu hapa. Njia pekee ya kupata X mpya ni kuzidisha prime kwa prime kubwa kuliko au sawa na yenyewe. Mara tu tunapofikia prime kama 7 ambapo 7 x 7 > 25, hatuhitaji kuiangalia. Kwa hivyo, tunahitaji tu kuangalia prime ambazo mraba wake ni mdogo kuliko au sawa na nambari ya mwisho.
d) Kama ungepewa nambari, tuseme 53, ni prime zipi ungehitaji kuigawanya ili kuona kwamba ni prime?
Kuanzia jibu la swali la mwisho, tunahitaji tu kuangalia prime ambazo mraba wake ni chini ya au sawa na 53. Prime hizo ni 2, 3, 5, na 7 - hakuna hata moja kati ya hizi inayogawanya 53 sawasawa, kwa hivyo 53 lazima iwe prime!