Novemba 2024

Habari

Mkunjo wa Joka: Safari ya Hisabati ya Kichawi – Ninafurahi kutangaza toleo jipya la bure la kitabu cha hadithi chenye maelezo ya EFM la Mkunjo wa Joka na Alicia Burdess. Hadithi hii ya kupendeza inaelezea tukio la msichana la fractal akichunguza maumbo yaliyoundwa kwa kukunja karatasi ndefu. Kwa kuwa jarida hili linahusu fractals, muda hauwezi kuwa bora zaidi.

Kusherehekea Wajitolea wa EFM

Kila mtu katika Early Family Math ni mtu wa kujitolea ambaye hajalipwa. Kila mtu. Mwezi uliopita nilianza kuwatambua baadhi ya watu wetu wa kujitolea wazuri, na ningependa kuendelea na utamaduni huo mwezi huu.

Ingrid, Diana, Gaby, na Maria

Hawa wanne waliunda nguvu kubwa ya watafsiri wa Kihispania kwa EFM. Walikuwa watafsiri wetu wa kwanza katika lugha yoyote, na walitafsiri sehemu kubwa ya vitabu vyetu vya hadithi na Shughuli kwa Familia. Wanatoka nchi tofauti zinazozungumza Kihispania, na ilikuwa furaha kwangu kusikiliza mijadala yao yenye kusisimua kuhusu kufanya uchaguzi wa maneno ambao ungekuwa wa ulimwengu wote katika nchi zote zinazozungumza Kihispania.

Vasil

Yeye ni mwalimu nchini Ufaransa ambaye hufundisha wanafunzi wanaofanya kazi ya kutafsiri Kiingereza hadi Kifaransa. Kwa zaidi ya miaka miwili, madarasa yake yalitafsiri vitabu vingi vya hadithi vya EFM kwa Kifaransa.

Fractals

Fraktali ni maumbo ya kijiometri ambayo yana vipengele vya kimuundo vya ndani vilivyo na chembe ndogo zinazofanana na umbo lote. Maelezo haya ya ndani kwa kawaida huendelea bila kikomo, na kumruhusu mtu kuendelea kukuza zaidi na zaidi, akiendelea kuona kitu kinachofanana na umbo lote.

Vitu vingi katika asili vina maumbo ya fractal: theluji, boliti za umeme, magamba ya nautilus, galaksi za ond, alizeti, ferns, brokoli, milima, na fukwe. Pia kuna maumbo mengi yaliyoundwa na binadamu ambayo yana sifa za fractal. Kompyuta zimefanya kuibua takwimu hizi zilizoainishwa kihisabati kuwa rahisi na kuvutia zaidi.

Mandelbrot kuweka

Huenda huu ndio mfano maarufu zaidi wa tabia ya fractal. Seti hii imefafanuliwa kwa kutumia nambari changamano, kwa hivyo sitaingia katika hesabu ya kuiunda. Sehemu ya kile kilichoifanya ijulikane vizuri ni picha nzuri, katika picha na filamu zisizo na mawimbi, zilizoundwa na watu wengi sana wakionyesha sehemu za seti hiyo zikiwa zimepakwa rangi kwa njia za ajabu. Nenda uchunguze kote mtandaoni kwa ajili ya sanaa ya ubunifu iliyofanywa na watu wengi. Hapa kuna picha kutoka Wikipedia iliyotengenezwa na Wolfgang Beyer kwa kutumia programu ya Ultra Fractal 3.

Theluji ya Koch

Umbo hili ni mojawapo ya vipande vya fraktali rahisi zaidi kutengeneza na mtoto wako. Anza na pembetatu ya kawaida (pande zote zina urefu sawa). Gawanya kila upande vipande 3, weka pembetatu mpya ndogo kwenye kila kipande cha kati, kisha ufute kipande cha kati. Ukishamaliza, endelea kurudia mchakato huu na pande mpya. Hapa chini kuna hatua nne za kwanza zilizotolewa katika kielelezo kutoka Wikipedia kilichofanywa na Chas_zzz_brown,Shibboleth:

Mbali na kufurahia uzuri wa matokeo, kuna maswali ya asili ya kuuliza kuhusu mkunjo huu.

Kuna pande ngapi baada ya idadi fulani ya hatua? Unaanza na 3. Baada ya hatua moja una 12. Baada ya hatua ya pili una 48. Kila hatua huongeza idadi ya pande kwa kipimo cha 4.

Mkunjo huo una urefu gani baada ya idadi fulani ya hatua? Hii ina jibu la kushangaza sana. Tuseme urefu wa upande wa kuanzia ni 1. Kisha pembetatu ya asili ina urefu wa 3. Baada ya hatua moja, kuna pande 12, kila moja ikiwa na urefu wa 1/3, kwa hivyo jumla ya urefu ni 12 x 1/3 = 4. Baada ya hatua nyingine, urefu unakuwa 48 x 1/9 = 16/3. Katika kila hatua urefu huongezeka kwa kipimo cha 4/3. Ikiwa mtu angeweza kukamilisha kazi kwa kufanya idadi isiyo na kikomo ya hatua, matokeo yake yangekuwa mkunjo wa urefu usio na kikomo ambao unaweza kutoshea ndani ya kisanduku cha 1 kwa 1!

Mkunjo wa Lévy C ni mkunjo mwingine wa fractal ambao una muundo sawa na theluji ya Koch.

Kitabu cha Dragon Curve na Alicia Burdess

Nitakuacha upakue na usome kitabu cha Burdess, Dragon Curve: A Magical Math Journey , ili kugundua sifa za kuvutia za mkunjo huu. Hapa kuna picha ya mkusanyiko wa mikunjo ya joka iliyochorwa kwenye ndege iliyochangiwa na Prokofiev kwa Wikipedia.

Pembetatu ya Sierpinski, zulia la Sierpinski, tetrahedron ya Sierpinski, na sifongo cha Menger

Takwimu hizi nne zina miundo inayofanana.

Kwa pembetatu, anza na pembetatu ya kawaida iliyojazwa. Kwa hatua ya kwanza, gawanya pembetatu hii katika vipande vinne sawa na uondoe pembetatu ya kati. Kwa hatua ya pili, gawanya kila moja ya pembetatu tatu zilizobaki katika pembetatu nne sawa na uondoe pembetatu ya kati kutoka kwa kila moja ya hizo. Endelea kwa muda usiojulikana, au hadi utakapochoka, kwa njia hii. Hapa kuna uwasilishaji wake uliofanywa na Beojan Stanislaus aliyechangia kwenye Wikipedia.

Zulia huanza kama mraba uliojaa. Kwa hatua ya kwanza, gawanya katika miraba 9 sawa na uondoe mraba wa kati kati ya tisa. Kwa hatua ya pili, gawanya kila mraba uliobaki katika miraba 9 midogo zaidi, na uondoe mraba wa kati kutoka kwa kila mmoja. Endelea hivi milele.

Sifa moja ya kushangaza ya pembetatu na zulia ni kwamba zina eneo ambalo ni 0. Katika kisa cha pembetatu, katika kila hatua eneo linalobaki ni ¾ ya eneo la hatua iliyotangulia. Ukiendelea kuzidisha kwa ¾ mara kwa mara, eneo lililobaki linakuwa dogo kiholela. Vivyo hivyo kwa zulia, ni katika hali hii tu unazidisha kwa 8/9 kila wakati.

Sierpinski tetrahedron na Menger Sponge ni matoleo ya pande tatu ya pembetatu na zulia. Zina sifa ya kushangaza ya kutokuwa na ujazo au eneo lolote la uso!

Hapa kuna picha kutoka Wikipedia za hatua nne za kwanza katika kuunda Sponge ya Menger.

Vipimo vya sehemu

Michakato isiyo na kikomo inaweza kusababisha matokeo ya kushangaza. Akili yetu mara nyingi inaweza kushangazwa na isiyo na kikomo. Mfano mzuri wa hili ni jinsi jumuiya ya hisabati ilivyoshangazwa wakati, mnamo 1874, Georg Cantor alionyesha kwamba kuna ukubwa tofauti wa seti zisizo na kikomo, na kwamba kwa kweli kuna idadi isiyo na kikomo ya ukubwa wa seti zisizo na kikomo. Hili lilikuwa na utata sana wakati huo kiasi kwamba aliitwa mdanganyifu na mdanganyifu na baadhi ya wanahisabati maarufu na walioimarika wa wakati wake.

Tayari tumeona kwamba tunaweza kuwa na mkunjo mrefu usio na kikomo katika eneo lenye kikomo (km theluji ya Koch) na kwamba tunaweza kuchukua vipande vichache kutoka eneo imara na kuishia kutokuwa na eneo lililobaki (km takwimu za Sierpinski).

Watu wanaochambua takwimu za fractal waligundua kuwa takwimu hizo hazikufanya kama takwimu za kawaida kulingana na ukubwa wake. Kwa mfano, watu wanaochambua mstari wa pwani ya Uingereza waligundua kuwa urefu wa pwani uliendelea kuwa mrefu kadri walivyozidi kukuza na kujumuisha maelezo zaidi. Wazo moja muhimu lililojitokeza kutoka kwa kazi hii lilikuwa wazo jipya kuhusu maana ya "kipimo".

Tuseme una umbo la pande moja, mbili, au tatu na unataka kutengeneza toleo jipya ambalo pande zake ni kubwa mara mbili.

Ukichukua sehemu ya mstari, unaweza kutumia nakala mbili zake ili kuifanya iwe kubwa mara mbili. Ukianza na mraba, utahitaji kuunganisha mraba minne pamoja ili kutengeneza mraba mpya wenye pande mbili kubwa. Na ikiwa una mchemraba, utahitaji kukusanya mita 8 pamoja ili kutengeneza mchemraba mpya wenye pande mbili kubwa. Watu waliamua kwamba wazo la asili la kipimo liliamuliwa kwa hesabu inayohusisha nguvu iliyohitajika kwa idadi ya vipande ili kuongeza pande kwa kiasi kinachohitajika. Mstari ni wa kimo kimoja kwa sababu 2^1 = 2; vipande viwili vinahitajika ili kuongeza urefu mara mbili. Mraba ni wa kimo mbili kwa sababu 2^2 = 4; vipande vinne vinahitajika ili kuongeza urefu mara mbili. Mchemraba una kimo tatu kwa sababu 2^3 = 8; Vipande 8 vinahitajika ili kuongeza urefu mara mbili.

Ufafanuzi huu wa kipimo ndio unaotumika kufafanua kile kinachoitwa kipimo cha fractal (au kipimo cha Hausdorff ) cha umbo. Tukiangalia nyuma pembetatu ya Sierpinski, inachukua nakala 3 za pembetatu kutengeneza mpya yenye pande mbili kubwa. Ili kupata 3, tunahitaji kuongeza 2 hadi nguvu ya 1.585. Kwa zulia, inachukua nakala 8 za zulia kutengeneza jipya lenye pande mara tatu kubwa. Ili kupata 8, tunahitaji kuongeza 3 hadi nguvu ya 1.8928!

Hebu fikiria, takwimu zenye vipimo 1.585 na 1.8928!

Fractals katika filamu na picha

Utumizi mzuri wa fractals ni kuwa na njia bora za kuunda picha halisi zinazozalishwa na kompyuta kwa ajili ya picha na filamu. Kwa kutumia seti ndogo za data na algoriti, picha halisi za milima, mashambani, na miali ya moto zinaweza kuzalishwa, na hizi zinaweza kubadilishwa kwa urahisi zaidi kuliko picha halisi zenye viwango sawa vya maelezo.

Kumalizika kwa mpango Up

Natumai umefurahia picha na mifumo hii mizuri, na natumai upeo wako umepanuliwa na mawazo haya ya kushangaza yanayohusu kutokuwa na mwisho. Ninatambua kuwa mada hii haihusiani sana na mtoto wako kucheza nayo moja kwa moja, kwa hivyo mwezi ujao natumai kumpa mtoto wako zaidi ya kucheza nayo. Natumai nyote mtakuwa na Shukrani nzuri!