ปริศนาประจำสัปดาห์

ความท้าทายและการสำรวจ

นี่ซับซ้อนกว่าสิ่งที่เกิดขึ้นใน “เครื่องคิดเลขเสีย – ตอนที่ 1” ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องนั้นเรียกกันอย่างสนิทสนมว่า ทฤษฎีแมคนักเก็ต สมมติว่าคุณมีจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์สองจำนวนคือ n และ m – นั่นคือ ตัวหารร่วมมากที่สุดของพวกมันคือ 1 ทฤษฎีกล่าวว่า คุณสามารถสร้างจำนวนครึ่งหนึ่งของจำนวนทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง (n – 1) x (m – 1) เป็นผลรวมของผลคูณบวกของ n และ m ได้พอดี และเริ่มต้นจาก (n – 1) x (m – 1) คุณสามารถสร้างจำนวนทุกจำนวนหลังจากนั้นได้

เมื่อนำทฤษฎีบทนี้ไปใช้กับ 4 และ 7 เราจะทราบว่าเราสามารถสร้างจำนวนได้ครึ่งหนึ่งของจำนวนทั้งหมดจนถึง (4 – 1) x (7 – 1) = 18 และจากนั้นเราสามารถสร้างจำนวนทั้งหมดได้ มาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรในกรณีพิเศษนี้

• 1 = เป็นไปไม่ได้
• 2 = เป็นไปไม่ได้
• 3 = เป็นไปไม่ได้
• 4 = 4
• 5 = เป็นไปไม่ได้
• 6 = เป็นไปไม่ได้
• 7 = 7
• 8 = 4 + 4
• 9 = เป็นไปไม่ได้
• 10 = เป็นไปไม่ได้
• 11 = 4 + 7
• 12 = 4 + 4 + 4
• 13 = เป็นไปไม่ได้
• 14 = 7 + 7
• 15 = 4 + 4 + 7
• 16 = 4 + 4 + 4 + 4
• 17 = เป็นไปไม่ได้
• 18 = 4 + 7 + 7

แม้จะไม่เข้าใจทฤษฎีจำนวนที่ซับซ้อนใดๆ นักสำรวจผู้กล้าหาญก็อาจสังเกตเห็นว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 18 เป็นไปได้ และอีกครึ่งหนึ่งเป็นไปไม่ได้ พวกเขาอาจสังเกตเห็นรูปแบบที่ว่า x เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ 17 – x เป็นไปได้เท่านั้น

อีกรูปแบบหนึ่งที่ควรสังเกตคือ ตัวคูณร่วมใดๆ ของจำนวนทั้งสองจะหารผลรวมของตัวคูณของจำนวนทั้งสองนั้นได้ทั้งหมด หมายความว่า ถ้าจำนวนทั้งสองมีตัวคูณร่วมมากกว่า 1 จะมีจำนวนอนันต์ที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยเครื่องคิดเลขนั้น ตัวอย่างเช่น การรวมกันของ 4 และ 6 จะไม่มีทางได้จำนวนคี่