ปริศนาประจำสัปดาห์

ความท้าทายและการสำรวจ

การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านแนวนอนและแนวตั้งนั้นค่อนข้างง่าย มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูปที่มีขนาด 1x1, 2x2, 3x3 และ 4x4 โดยมีพื้นที่ 1, 4, 9 และ 16 ตามลำดับ

ส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัสอื่นๆ นั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย หลักการคือการแบ่งพื้นที่นั้นออกเป็นชิ้นๆ โดยที่เราทราบพื้นที่ หรืออีกวิธีหนึ่งคือ เราสามารถล้อมสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่กว่า แล้วพิจารณาชิ้นส่วนที่อยู่ภายในนั้น

ลองพิจารณารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากด้านที่ยาวไปทางขวา 3 หน่วยและขึ้นไป 1 หน่วย

เราสามารถหาพื้นที่ได้โดยการนำสามเหลี่ยมมุมฉากสีน้ำเงินด้านในทั้งสี่มารวมกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีขาว ซึ่งจะได้พื้นที่เท่ากับ 4 x (½ x 3 x 1) + 2 x 2 = 6 + 4 = 10 โดยความยาวด้านจะเป็นรากที่สองของ 10 หรือเรายังสามารถหาพื้นที่ได้โดยการนำสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ด้านนอกมาลบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวทั้งสี่ ซึ่งจะได้พื้นที่เท่ากับ 4 x 4 – (4 x (½ x 3 x 1)) = 16 – 6 = 10 เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้

สามารถใช้วิธีการที่คล้ายกันนี้กับช่องสี่เหลี่ยมแนวทแยงมุมใดๆ ก็ได้

หลังจากทำแบบฝึกหัดเหล่านี้หลายๆ ครั้ง นักเรียนที่สนใจอาจสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง พีชคณิตของนักเรียนอาจยังไม่ถึงขั้นนี้ แต่รูปแบบของตัวเลข หากนำมาแสดงในตาราง ก็ยังคงสามารถมองเห็นได้แทนการใช้ตัวอักษร ให้ “a” แทนระยะที่ด้านนั้นยาวไปทางขวา และ “b” แทนระยะที่ด้านนั้นยาวขึ้นไป การหาพื้นที่จากด้านในจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ 4 x (½ xaxb) + (a – b) x (a – b) ซึ่งก็คือ 𝑎² + 𝑏² การหาพื้นที่จากด้านนอกจะได้ผลลัพธ์เท่ากับ (a + b) x (a + b) – 4 x (½ xaxb) ซึ่งเมื่อลดรูปแล้วจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน

สิ่งที่เราทำได้คือค้นพบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสองวิธี!