Dikdörtgenlerden Kaçınma – 2
Izgaradaki X'ler, yatay ve dikey kenarları olan dikdörtgenlerin köşeleri olabilir. Bu ilk ızgaradaki X'ler iki dikdörtgen oluşturur. Ancak amaç dikdörtgen oluşturmaktan kaçınmaktır. İkinci ızgaradaki X'ler, herhangi bir dikdörtgen oluşturmayacak şekilde yerleştirilmiştir.
CHALLENGE
Bu 4x4'lük ızgaraya olabildiğince çok X işareti yerleştirin ve dikdörtgen oluşturmaktan kaçının.
KEŞİF
Diğer ızgara boyutları için en fazla kaç tane elde edebilirsiniz? Cevaplarınızda herhangi bir örüntü görüyor musunuz?
notlar
CHALLENGE
Bu genel olarak çözülmesi çok zor, matematikte henüz çözülmemiş bir problemdir. Ancak bu, bir öğrencinin bununla uğraşmasına ve yol boyunca birçok ilginç şey öğrenmesine engel olmamalıdır.
Izgaranın m satır ve n sütundan oluştuğunu varsayalım. Dikdörtgenlerden Kaçınma – 1'de, en iyi cevaplar için aşağıdaki sonuçları bulduk.
1. ve 2. satırlar: m + n – 1 X'imiz vardı.
3 satır: Başlangıç diyagramı olarak aşağıdaki şemaya benzeyen 3x3'lük bir ızgara için m + n X'imiz vardı. Bu diyagramı kullanarak, daha fazla sütunlu 3 satırımız olsaydı, her yeni sütuna tek bir X ekleyebilirdik.
3x3'lük durum, 1 ve 2 satırlı stratejiden farklı bir bakış açısı gerektiriyordu ve 4 veya daha fazla satırlı örneklerin de yeni bir düşünce gerektireceği akla yatkın geliyor. Açıkça belirtmek gerekirse, X'ler içeren bir satır çiftini asla paylaşmayan bir sütun koleksiyonu oluşturmak istiyoruz.
Bir strateji, en soldaki sütundaki en alt kare hariç her şeyi doldurmak ve ardından kalan sütunlara en alt satırda bir X ve başka bir satırda bir X koymaktır. Bu her zaman işe yarar ve m x m kare ızgara için (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X üretir. Kareyi doldurma yöntemi, m < n olduğunda, m satırlı herhangi bir şeye (her yeni sütuna tek bir X ekleyerek) genişletilebilir ve 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X verir. Bu formül, şimdiye kadar herhangi bir boyuttaki ızgara (1'den fazla satırlı) için tüm cevaplar için geçerlidir.
KEŞİF
İnternetteki en iyi cevaplara bakıldığında, 5x5'lik durum için (bu deseni kullanarak elde edebilirsiniz) 12 X, 6x6'lık durum için ise (burada gösterildiği gibi) 16 X yapabileceğiniz görülüyor.
Bundan sonra, 7'şer 7'şer başlayan sayılar sırasıyla şunlardır: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 ve 122. Matematikçiler bunların nasıl çalıştığı konusunda birçok ilginç araştırma yapmışlardır ve sizin matematikçileriniz de bununla çok eğlenebilirler!
