Parite – 3 – Ayakta Kalan Son Sayı
Bir tahtaya 1'den 5'e kadar sayılar yazılır. Ardından sayı çiftleri seçilir, silinir ve aralarındaki farkla değiştirilir. Bu işlem, geriye tek bir sayı kalana kadar devam eder. Aşağıdaki örnekte, bu sayı 1'dir.
1 2 3 4 5 => 1 2 4 2
1 2 4 2 => 2 2 3
2 2 3 => 2 1
2 1 => 1
CHALLENGE
Bu tek sayı ne kadar küçük olabilir? 0 olabilir mi? Sayılar 1'den 6'ya veya 1'den 7'ye giderse cevabınız değişir mi?
1 2 3 4 5 => ?
KEŞİF
1'den 5'e kadar verilen bir sayı listesi için, son rakamlardan hangileri mümkündür? Bu rakamın tam tersi nedir?
Olası son sayının en küçük ve en büyük değeri nedir? 0 veya en üstteki sayı ne zaman olasılıklar listesinde yer alabilir?
notlar
CHALLENGE
Bu, 1'den 5'e kadar olan sayıları alıp her bir sayı çifti arasına toplama veya çıkarma işaretleri koyduğumuzda hangi sayıların mümkün olduğunu soran bulmacaya oldukça benzer; örneğin, 1 + 2 + 3 – 4 + 5 veya 1 + 2 – 3 + 4 + 5. Bu bulmaca biçimini kullanmanın avantajı, negatif sayıların yer almamasıdır.
Başlangıç için birkaç kolay not. Tüm farklar negatif olmayan sayılardır, bu nedenle nihai cevap asla 0'dan küçük olamaz. Farklardan oluşturulan sayılar ya orijinal sayılarla ya da bu sayılardan türetilen sayılarla oluşturulur. Dolayısıyla bir farkla kullanılabilecek maksimum sayı en büyük sayıdır, yani 5'tir. 0 ile 5 arasındaki sayılardan hangilerinin olası nihai cevaplar olduğunu bilmek istiyoruz.
Bunu tek ve çift sayılar problemi olarak düşünün. Tek sayıların sayısını sayarak başlayın. 1'den 5'e giderken, bu sayı 3'tür ve bu da tek bir sayıdır. Yani, tek sayıda tek sayımız var. Farkı aldığınızda ne olduğunu listeleyin: 1) Her iki sayı da çift ise, sonuç çift bir sayıdır ve tek sayıların toplam sayısında değişiklik olmaz; 2) bir sayı tek, diğeri çift ise, sonuç tek bir sayıdır ve tek sayıların toplam sayısında değişiklik olmaz; ve 3) her iki sayı da tek ise, sonuç çift bir sayıdır ve tek sayıların toplam sayısı iki azalır. Tüm durumlarda, tek sayıların toplam sayısı ya aynı kalır ya da iki azalır.
Sonuç: Tek sayıda tek sayıyla başlarsak, sonunda da tek sayıda (1) tek sayı kalır. Çift sayıda tek sayıyla başlarsak, sonunda da çift sayıda (0) tek sayı kalır.
1'den 5'e giderken, tek sayıda tek sayıyla başladık, bu nedenle nihai cevap tek olmalıdır. Nihai cevap 1, 3 veya 5 olmalıdır. Hızlı bir deneme, hepsinin mümkün olduğunu gösteriyor.
1'den 6'ya kadar olan sayılar için de analiz tamamen aynıdır çünkü hala üç tane tek sayı bulunmaktadır.
1 ile 7 arasındaki aralık için artık çift sayıda tek sayı var, bu nedenle sonda hiç tek sayı kalmayacak ve olası son sayılar 0, 2, 4 veya 6 olabilir (ki bunların hepsi gerçekleşebilir).
KEŞİF
0'ın ne zaman mümkün olduğunu görmek kolaydır. En üstten başlayarak ardışık sayıları eşleştirin ve farklarını alın. Bu, bir dizi 1 verir. Eğer çift sayıda 1 varsa, 0 elde edebilirsiniz; eğer tek sayıda 1 varsa, 1 elde edebilirsiniz. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, bu, çift veya tek sayıda tek sayıyla başlayıp başlamadığınızı bulmakla aynı şeydir. 1'den 7'ye kadar olan sayıları örnek olarak alalım: (7 6) (5 4) (3 2) 1 => 1 1 1 1 => (1 1) (1 1) => 0 0 => 0.
Aynı şeyi, en üstteki sayının mümkün olup olmadığını görmek için de yapabilirsiniz. En üstteki sayıyı dışarıda bırakarak, en üstten başlayarak ardışık sayıları eşleştirin. Bu çiftlerin farklarını alın. Şimdi, en üstteki sayıyla birlikte 1'lerden oluşan bir listeniz var. 1'lerden oluşan listeyi tek bir 0 veya tek bir 1'e indirgeyin. Bunun ile en üstteki sayının farkını alın!