Магічні квадрати – 3
У магічному квадраті всі рядки, стовпці та діагоналі дають одне й те саме число. Цей перший квадрат не є магічним квадратом. Другий — це магічний квадрат із постійною сумою 12.
ВИКЛИК
Використайте кожне з чисел від 0 до 8 один раз, щоб завершити цей Магічний квадрат.
ПОЯСНЕННЯ
Чи можете ви знайти більше одного способу зробити це? Що спільного між різними способами? Як зміниться ваша відповідь, якщо ви використаєте числа від 1 до 9? А як щодо парних чисел від 2 до 18?
примітки
ВИКЛИК
Нехай ваші учні пограються з цим. Якщо вони будуть уважно ставитися до того, що роблять, то відкриють для себе цікаві взаємозв'язки та отримають з цього багато корисного. Для молодих учнів немає абсолютно жодної потреби вдаватися до будь-якого ретельного аналізу. Далі наведено більш аналітичний спосіб пошуку рішень.
Спільна сума: Найпростіший спосіб почати аналіз цієї головоломки – знайти спільну суму. Кожен рядок дорівнює спільній сумі. Також три рядки містять числа від 0 до 8 і в сумі дають потроєння спільної суми. Отже, потроєння спільної суми дорівнює 36 (сума від 0 до ), отже, спільна сума дорівнює 12.
Центральний квадрат: Наступний крок – підсумувати чотири лінії, що проходять через центральний квадрат. Загальна сума дорівнює 12, і ліній чотири, тому їхня сума має бути 4 x 12 = 48. Або ж чотири лінії містять кожне число один раз, плюс центральний квадрат ще тричі. Сума чисел від 0 до 8 дорівнює 36. Отже, 48 дорівнює 36 плюс 3, помножене на центральний квадрат. Отже, центральний квадрат має бути 4.
Додавання до 12: Існує напрочуд мало способів додати до 12. Вони такі:
(0 4 8) (1 4 7) (2 4 6) (3 4 5) (0 5 7) (1 3 8) (1 5 6) (2 3 7)
З цього списку можна багато чого зрозуміти. Подивіться, як часто число з'являється в триплеті:
- 4 рази: 4
- 3 рази: 1, 3, 5, 7
- 2 рази: 0, 2, 6, 8
Далі порівняйте це з тим, скільки разів квадрат на діаграмі знаходиться в одній з ліній. Ви побачите, що центральний квадрат розташований у чотирьох лініях, кутові квадрати - у трьох лініях, а середини сторін - у двох лініях. Це ще один спосіб побачити, що центральний квадрат має бути 4. Також кути повинні бути 1, 3, 5 та 7, а середини сторін - 0, 2, 6 та 8.
Заповніть квадрат: Важка робота виконана. Почніть з 4 посередині та поставте 7 в один кут. Зверніть увагу, що 0 має бути поруч із 7 з одного або іншого боку (інакше 8 буде вимушена стояти поруч із 7). Після цього у вас не буде вибору. Одна з відповідей, по рядках, така: (7 0 5) (2 4 6) (3 8 1). Зверніть увагу, що це така ж відповідь, як і будь-яка інша, шляхом повороту квадрата та, можливо, його перевертання.
ПОЯСНЕННЯ
Як зазначалося в останньому абзаці, всі рішення по суті однакові – повертайте квадрат, доки 7 не опиняться в одному куті, і візьміть дзеркальне відображення (за потреби) вздовж діагоналі, щоб розмістити 0 у тому ж положенні.
Розв'язання цієї головоломки для чисел від 1 до 9 означало б додавання 1 до кожного запису в розв'язку від 0 до 8. Розв'язання цієї головоломки для чисел від 2 до 18 означало б подвоєння всіх записів для розв'язку від 1 до 9.