Шляхи на шашкових дошках – 1
Перша шахівниця розміром 3 на 4 має шлях, який проходить через усі клітинки, починаючи з чорної точки. Друга шахівниця розміром 3 на 5 не має шляху, який проходить через усі клітинки, починаючи з чорної точки.
ВИКЛИК
Для цих двох шахових дощок визначте, з яких початкових позицій починатимуться шляхи, що проходять через усі клітинки дошки, а з яких — ні. У чому різниця?
ПОЯСНЕННЯ
Створіть шахові дошки інших розмірів і спробуйте різні початкові позиції на них. Чи бачите ви якісь закономірності для того, які початкові позиції працюють на кожній дошці?
примітки
ВИКЛИК ТА ДОСЛІДЖЕННЯ
Метод спроб і помилок може бути досить успішним у цій головоломці, і його слід заохочувати. З достатньою кількістю часу та терпіння ваші учні розберуться з цим. Перша дошка завдань має повний шлях, що починається з будь-якої клітинки. Друга дошка завдань має повні шляхи, які починаються з кожної білої клітинки та жодної з темних клітинок.
Це цікавий результат.
Питання, яке ви хочете, щоб ваші учні поставили на цьому етапі: Чому ми бачимо таку закономірність результатів?
Розглядаючи приклади шляхів у вступі, важливо зазначити, що колір квадратів чергуватиметься вздовж будь-якого шляху. Це пояснюється тим, що два квадрати, що мають спільну сторону, будуть протилежних кольорів. Якщо уявити повний шлях як чергування всіх квадратів дошки, це буде ключем до розуміння того, коли неможливо мати повний шлях.
Наприклад, подивіться на сітку 3 на 5 у вступі та у завданні. Вона має 8 білих квадратів та 7 чорних квадратів. Шлях, який починається з білого квадрата, може чергувати кольори та працювати: WBWBWBWBWBWBWBWBW. Однак шлях, який починається з чорного квадрата, застрягне: BWBWBWBWBWBWBWBW без жодного способу дістатися до восьмого квадрата W.
Для прямокутних дощок, які мають парну кількість квадратів, а отже, однакову кількість білих і чорних квадратів, повний шлях може починатися будь-де. Для прямокутних дощок, які мають непарну кількість квадратів, повні шляхи повинні починатися в кутах або з квадратів того ж кольору, що й кути.
У розділі «Математика без слів» проєкту «Глобальний математик» є чудове відео: