Hình chữ nhật lát gạch
Bạn có hai bài toán. Với một hình chữ nhật 1xn, có bao nhiêu cách để lấp đầy nó bằng hỗn hợp các hình vuông 1x1 và hình chữ nhật 1x2? Với một hình chữ nhật 2xn, có bao nhiêu cách để lấp đầy nó bằng các hình chữ nhật 1x2?
CÁC THÁCH THỨC
Tại sao hai câu đố này lại cho cùng một đáp án? Đáp án là gì khi các hình chữ nhật được tô màu dài 10? Còn khi chúng dài 20 thì sao?
THĂM DÒ
Hai bài toán này có điểm gì giống nhau và giống với các bài toán trước? Bài toán ghép hình 1xn sẽ thay đổi như thế nào nếu ta dùng các mảnh ghép 1x1 và 1x3 thay vì 1xn? Bài toán ghép hình 1xn sẽ thay đổi như thế nào nếu ta dùng các mảnh ghép 1x1, 1x2 và 1x3?
Ghi Chú
CÁC THÁCH THỨC
Việc biết cách áp dụng các kết quả trước đó vào một phần hoặc toàn bộ của một câu đố mới là một kỹ năng vô cùng quan trọng.
Hai câu đố này hoàn toàn giống nhau về bản chất. Các mảnh ghép dọc trong hình chữ nhật 2 x n tương ứng với các mảnh ghép 1 x 1 trong hình chữ nhật 1 x n, và các mảnh ghép ngang trong hình chữ nhật 2 x n tương ứng với các mảnh ghép 1 x 2 trong hình chữ nhật 1 x n. Vì vậy, thực sự không có sự khác biệt nào giữa hai câu đố này.
Ngoài ra, câu đố hình chữ nhật 1 x n cũng giống hệt như câu đố các bậc thang trong “Fibonacci – 2”. Đi từng bước một giống như đặt một hình vuông 1 x 1, và đi hai bước một lúc giống như đặt một hình chữ nhật 1 x 2. Hai câu đố này giống nhau, vì vậy phân tích và kết quả cũng giống nhau.
THĂM DÒ
Nếu ta sử dụng các hình chữ nhật 1x1 và 1x3, mọi thứ sẽ thay đổi rất nhiều. Hãy nhìn vào một vài giá trị đầu tiên và xem xét cách chúng được tính toán. Ta nhận được 1, 1, 2, 3, 4, 6 và 9 cho một vài giá trị đầu tiên. Nói chung, giá trị tiếp theo là tổng của giá trị hiện tại và giá trị cách đó hai bước. Việc tính toán khá đơn giản, nhưng nó không còn là dãy Fibonacci nữa.
Nếu ta sử dụng phép nhân 1 với 1, 1 với 2, và 1 với 3, mọi thứ sẽ thay đổi còn ngoạn mục hơn nữa. Lúc này, một vài giá trị đầu tiên được cho bởi 1, 2, 4, 7, 13 và 24. Giá trị tiếp theo trong dãy là tổng của ba giá trị trước đó.
Những dãy số xác định số hạng tiếp theo bằng một công thức cố định liên quan đến các số hạng trước đó được gọi là dãy số đệ quy. Dãy Fibonacci không phải là dãy số đệ quy duy nhất, nhưng có lẽ là nổi tiếng nhất.