נאוועמבער קסנומקס

נייעס

דראַקאָן קורווע: אַ מאַגישע מאַטעמאַטיק רייזע – איך בין צופרידן צו מעלדן אַ נייע, פרייע EFM אַנאָטירטע מעשה־בוך ווערסיע פֿון דראַקאָן קורווע פֿון אַליסיאַ בורדעס. די כּישוףֿדיקע געשיכטע באַשרײַבט אַ מיידלס פֿראַקטאַל־אַוואַנטורע, וואָס פֿאָרשט אויס די פֿאָרמען, וואָס ווערן באַשאַפֿן דורך צוזאַמענפֿאַלטן אַ לאַנגע שטיק פּאַפּיר. ווײַל די נייעסבריוו איז אַלע וועגן פֿראַקטאַלן, קען די צײַט נישט זײַן בעסער.

פֿײַערן EFM וואַלאַנטירן

יעדער ביי ערלי פעמילי מאטעמאטיק איז אן אומבאצאלטער וואלונטיר. יעדער איינער. לעצטן חודש האב איך אנגעהויבן אנערקענען עטליכע פון ​​אונזערע ווונדערבארע וואלונטירן, און איך וואלט געוואלט פארזעצן די טראדיציע דעם חודש.

אינגריד, דיאַנע, גאַבי און מאַריאַ

די פיר האבן געשאפן א שטארקע גרופע פון ​​שפאניש-איבערזעצער פאר EFM. זיי זענען געווען אונזערע ערשטע איבערזעצער אין יעדער שפראך, און זיי האבן איבערגעזעצט דעם גרעסטן טייל פון אונזערע מעשה-ביכלעך און די אקטיוויטעטן פאר משפחות. זיי זענען פון פארשידענע שפאניש-רעדנדיקע לענדער, און עס איז געווען אינטערעסאנט פאר מיר צו הערן זייערע לעבעדיגע דיסקוסיעס וועגן מאכן ווארט-ברירות וואס זאלן זיין אוניווערסאל איבער אלע שפאניש-רעדנדיקע לענדער.

וואַסיליקאַ

ער איז אַ לערער אין פֿראַנקרײַך וואָס לערנט סטודענטן וואָס אַרבעטן אויף איבערזעצן ענגליש אויף פֿראַנצייזיש. איבער צוויי יאָר האָבן זײַנע קלאַסן איבערגעזעצט די מערהייט פֿון די EFM מעשה־ביכלעך אויף פֿראַנצייזיש.

פראַקטאַלס

פראַקטאַלן זענען געאָמעטרישע פֿיגורן וואָס האָבן פֿײַן-קערנדיקע אינעווייניקסטע סטרוקטורעלע עלעמענטן וואָס זעען אויס ווי די גאַנצע פֿיגור. די אינעווייניקסטע דעטאַל גייט געוויינטלעך אָן אויף אייביק, און דערמעגלעכט איינעם צו זומען ווײַטער און ווײַטער, און ווײַטער זען עפּעס וואָס זעט אויס ווי די גאַנצע פֿיגור.

אסאך זאכן אין דער נאטור האבן פראַקטאַלע פֿאָרמען: שניי-פֿלעקלעך, בליץ-באָלטן, נאַוטילוס-שאָלן, שפּיראַל-גאַלאַקסיעס, זונרויזן, פֿערן, בראָקאָלי, בערג און ברעג-ליניעס. עס זענען אויך פֿאַראַן אַ סך מענטש-געמאַכטע פֿאָרמען וואָס האָבן פראַקטאַלע כאַראַקטעריסטיקס. קאָמפּיוטערס האָבן געמאַכט דאָס וויזואַליזירן די מאַטעמאַטיש-דעפֿינירטע פֿיגורן גרינגער און מער יראָה-אינספּירירנדיק.

מאנדעלברוט שטעלן

דאָס איז אפשר דער באַרימטסטער בייַשפּיל פֿון פֿראַקטאַלן נאַטור. די גרופּע איז דעפֿינירט אין טערמינען פֿון קאָמפּלעקסע נומערן, אַזוי איך וועל נישט אַרײַנגיין אין די מאַטעמאַטיק פֿאַר איר שאַפֿן. אַ טייל פֿון וואָס האָט זי אַזוי באַקאַנט געמאַכט איז די שיינע בילדער, סײַ אין סטיל־בילדער און סײַ אין פֿילמען, באַשאַפֿן דורך אַזוי פֿיל מענטשן, וואָס ווײַזן טיילן פֿון דער גרופּע פֿאַרבט אויף אויסערגעוויינטלעכע אופֿנים. גייט זוכן איבערן גאַנצן אינטערנעץ פֿאַר קרעאַטיווע קונסט געמאַכט דורך אַ סך מענטשן. דאָ איז אַ בילד פֿון וויקיפּעדיע געמאַכט דורך וואָלףגאַנג בײַער מיטן פּראָגראַם "Ultra Fractal 3".

קאָך שניי-פֿלאַקע

די פאָרעם איז איינע פון ​​די גרינגסטע פראַקטאַלן צו מאַכן מיט אייער קינד. אָנהייבן מיט אַ רעגולערן דרייַעק (אַלע זייטן די זעלבע לענג). צעטייל יעדע זייט אין 3 שטיקלעך, שטעלן אַ נייעם קלענערן דרייַעק אויף יעדן מיטלשטיקל, און דערנאָך ויסמעקן דעם מיטלשטיקל. אַמאָל פאַרטיק, פאָרזעצן צו איבערחזרן דעם פּראָצעס מיט די נייע זייטן. אונטן זענען די ערשטע פיר טריט געגעבן אין אַן אילוסטראַציע פון ​​וויקיפּעדיע געמאכט דורך Chas_zzz_brown, Shibboleth:

חוץ הנאה האבן פון די שיינקייט פון די רעזולטאטן, זענען דא עטלעכע נאטירלעכע פראגעס צו פרעגן וועגן דעם קורווע.

וויפיל זייטן זענען דא נאך א געוויסע צאל טריט? מען הייבט אן מיט 3. נאך איין טריט האט מען 12. נאך דעם צווייטן טריט האט מען 48. יעדער טריט פארגרעסערט די צאל זייטן מיט א פאקטאר פון 4.

ווי לאַנג איז די קרומע נאָך אַ געוויסער צאָל טריט? דאָס האָט אַ זייער איבעראשנדיקע ענטפֿער. לאָמיר זאָגן אַז די אָנהייב זײַט לענג איז 1. דעמאָלט האָט דער אָריגינעלער דרייַעק אַ לענג פֿון 3. נאָך איין טריט, זענען דאָ 12 זײַטן, יעדע פֿון לענג 1/3, אַזוי די גאַנצע לענג איז 12 x 1/3 = 4. נאָך אַ טריט, ווערט די לענג 48 x 1/9 = 16/3. בײַ יעדן טריט וואַקסט די לענג מיט אַ פֿאַקטאָר פֿון 4/3. אויב מען וואָלט געקענט פֿאַרענדיקן די אויפֿגאַבע דורך טאָן אַן אומענדלעכע צאָל טריט, וואָלט דער רעזולטאַט געווען אַ קרומע פֿון אומענדלעכער לענג וואָס קען אַרײַנפֿיטן אין אַ 1 בײַ 1 קעסטל!

די לעווי C קורווע איז נאך א פראַקטאַל קורווע וואָס האט אַ קאַנסטרוקציע ענלעך צו דער קאָך שנייפלעך.

דראַגאָן קורווע און אַליסיאַ בורדעס' בוך

איך וועל דיר לאָזן אראָפּלאָדן און לייענען בורדעס' בוך, דראַקאָן קורווע: אַ מאַגישע מאַטעמאַטיק רייזע, צו אַנטדעקן אינטערעסאַנטע אייגנשאַפֿטן פֿון דעם קורווע. דאָ איז אַ בילד פֿון אַ זאַמלונג פֿון דראַקאָן קורוועס וואָס פֿליסן דעם פֿלאַך, וואָס פּראָקאָפֿיעוו האָט בײַגעטראָגן פֿאַר וויקיפּעדיע.

סיערפּינסקי דרייעק, סיערפּינסקי טעפּעך, סיערפּינסקי טעטראַהעדראָן, און מענגער שוואָם

די פיר פיגורן האבן ענלעכע קאנסטרוקציעס.

פֿאַר דעם דרייעק, הייבט אָן מיט אַן אויסגעפֿילטן רעגולערן דרייעק. פֿאַר דעם ערשטן שריט, טיילט דעם דרייעק אין פֿיר גלייכע שטיקער און נעמט אַראָפּ דעם צענטראַלן דרייעק. פֿאַר דעם צווייטן שריט, טיילט יעדן פֿון די דריי איבעריקע דרייעקן אין פֿיר גלייכע דרייעקן און נעמט אַראָפּ דעם צענטראַלן דרייעק פֿון יעדן פֿון זיי. גייט ווייטער אויף אייביק, אָדער ביז איר ווערט מיד, אויף דעם אופֿן. דאָ איז אַ רענדערינג דערפֿון געמאַכט דורך בעאָיאַן סטאַניסלאַוו בייגעטראָגן צו וויקיפּעדיע.

דער טעפּיך הייבט זיך אָן ווי אַן אויסגעפילטער קוואַדראַט. פֿאַר דעם ערשטן שריט, טיילט עס אין 9 גלייכע קוואַדראַטן און נעמט אַראָפּ דעם צענטראלן קוואַדראַט פֿון די ניין. פֿאַר דעם צווייטן שריט, טיילט יעדן פֿון די איבעריקע קוואַדראַטן אין 9 נאָך קלענערע קוואַדראַטן, און נעמט אַראָפּ דעם צענטראלן קוואַדראַט פֿון יעדן איינעם. גייט אַזוי ווייטער אויף אייביק.

איין איבעראשנדע אייגנשאפט פון דעם דרייעק און דעם טעפּיך איז אז זיי האבן א שטח וואס איז 0. אין פאל פון דעם דרייעק, ביי יעדן שריט איז די שטח וואס בלייבט איבער ¾ פון דער פריערדיגער שריט'ס שטח. אויב איר האלט אן צו טאפלען מיט ¾ איבער און איבער, ווערט די איבערבלייבנדע שטח ארביטרעריש קליין. דאס זעלבע איז אמת פארן טעפּיך, נאר אין דעם פאל טאפלט איר מיט 8/9 יעדעס מאל.

דער סיערפּינסקי טעטראַהעדראָן און מענגער שוואָם זענען דריי-דימענסיאָנאַלע ווערסיעס פון דעם דרייַעק און טעפּיך. זיי האָבן די איבערראשנדיקע אייגנשאַפט פון נישט האָבן קיין וואָלומען אָדער ייבערפלאַך!

דאָ זענען בילדער פֿון וויקיפּעדיע פֿון די ערשטע פֿיר טריט אין שאַפֿן דעם מענגער שוואָם.

פראַקשאַנאַלע דימענסיעס

אומענדלעכע פּראָצעסן קענען פירן צו עטלעכע איבעראשנדיקע רעזולטאַטן. אונדזער אינטואיציע קען אָפט זיין איבערראשט דורך דעם אומענדלעכן. א גוט בייַשפּיל דערפון איז געווען ווי די מאַטעמאַטישע קהילה איז געווען איבערראשט ווען, אין 1874, האָט געאָרג קאַנטאָר געוויזן אַז עס זענען פאַרשידענע גרייסן פון אומענדלעכע סאַמז, און אַז עס זענען טאַקע אַן אומענדלעכע צאָל גרייסן פון אומענדלעכע סאַמז. דאָס איז געווען אַזוי קאָנטראָווערסיאַל אין יענער צייט אַז ער איז גערופן געוואָרן אַ שווינדלער און אַ שרלטאַן דורך עטלעכע פון ​​די מערסט באַרימטע, עטאַבלירטע מאַטעמאַטיקער פון זיין צייט.

מיר האָבן שוין געזען אַז מיר קענען האָבן אַן אומענדלעך לאַנגע קורווע אין אַ ענדלעכן ראַיאָן (למשל קאָך שנייפלעך) און אַז מיר קענען נעמען אַ דין סכום שטיקלעך אַרויס פון אַ האַרטן ראַיאָן און ענדיגן מיט קיין שטח נישט איבער (למשל סיערפּינסקי פיגורן).

מענטשן וואָס האָבן אַנאַליזירט פראַקטאַלע פיגורן האָבן איינגעזען אַז יענע פיגורן האָבן זיך נישט געפֿירט ווי טיפּישע פיגורן אין טערמינען פֿון זייער דימענסיע. למשל, מענטשן וואָס האָבן אַנאַליזירט די קאָוסט ליניע פֿון גרויסבריטאַניע האָבן איינגעזען אַז די לענג פֿון דער קאָוסט איז געוואָרן לענגער ווי מער זיי האָבן זיך פֿאַרגרעסערט און אַרײַנגענומען מער דעטאַלן. איין וויכטיקע געדאַנק וואָס איז אַרויסגעקומען פֿון דער אַרבעט איז געווען אַ נײַע געדאַנק וועגן וואָס "דימענסיע" קען מיינען.

לאָמיר זאָגן אַז איר האָט אַן איין-, צוויי-, אָדער דריי-דימענסיאָנעלע פיגור און איר ווילט מאַכן אַ נייע ווערסיע דערפון וועמענס זייטן זענען צוויי מאָל אַזוי גרויס.

אויב איר נעמט א ליניע סעגמענט, קענט איר ניצן צוויי קאפיעס דערפון צו מאכן עס צוויי מאל אזוי גרויס. אויב איר הייבט אן מיט א קוואדראט, וועט איר דארפן צוזאמענשטעלן פיר קוואדראטן צו מאכן א נייעם קוואדראט מיט זייטן צוויי מאל אזוי גרויס. און אויב איר האט א קוב, וועט איר דארפן צוזאמענשטעלן 8 קיובן צו מאכן א נייעם קוב מיט זייטן צוויי מאל אזוי גרויס. מענטשן האבן באשלאסן אז א נאטירלעכע באגריף פון דימענסיע ווערט באשטימט דורך א חשבון וואס נעמט אריין די מאכט וואס איז געווען נויטיג פאר די צאל שטיקלעך צו פארגרעסערן די זייטן מיט די געוואונטשענע מאס. א ליניע איז איין-דימענסיאנאל ווייל 2^1 = 2; צוויי שטיקלעך זענען נויטיג צו פארדאפלען די לענג. א קוואדראט איז צוויי-דימענסיאנאל ווייל 2^2 = 4; פיר שטיקלעך זענען נויטיג צו פארדאפלען די לענג. א קוב איז דריי-דימענסיאנאל ווייל 2^3 = 8; 8 שטיקלעך זענען נויטיג צו פארדאפלען די לענג.

די דעפֿיניציע פֿון דימענסיע איז וואָס מען ניצט צו דעפֿינירן וואָס מע רופֿט די פראַקטאַל דימענסיע (אָדער האַוסדאָרף דימענסיע) פון א פאָרעם. צוריקקוקנדיק אויפן סיערפּינסקי דרייעק, נעמט עס 3 קאפיעס פון דעם דרייעק צו מאַכן אַ נייעם מיט זייטן צוויי מאָל אַזוי גרויס. צו באַקומען 3, דאַרפן מיר אויפהייבן 2 צו דער מאַכט פון 1.585. פֿאַר דעם טעפּיך, נעמט עס 8 קאפיעס פון דעם טעפּיך צו מאַכן אַ נייעם מיט זייטן דריי מאָל אַזוי גרויס. צו באַקומען 8, דאַרפן מיר אויפהייבן 3 צו דער מאַכט פון 1.8928!

שטעלט זיך פאר, פיגורן מיט דימענסיעס 1.585 און 1.8928!

פראַקטאַלן אין פֿילמען און בילדער

א וואונדערבארע אנווענדונג פון פראַקטאַלן איז צו האָבן עפעקטיווע וועגן צו שאַפֿן קאָמפּיוטער-גענערירטע רעאַליסטיש-אויסזעענדיקע בילדער פֿאַר פֿאָטאָס און פֿילמען. ניצנדיק קליינע דאַטן-זאַמלונגען און אַלגעריטמען, קען מען פּראָדוצירן רעאַליסטישע בילדער פֿון בערג, לאַנדשאַפֿטן און פֿלאַמען, און די קענען מאַניפּולירט ווערן פֿיל גרינגער ווי עכטע בילדער מיט פֿאַרגלייַכלעכע לעוועלס פֿון דעטאַל.

ראַפּינג אַרויף

איך האף אז איר האט הנאה געהאט פון די שיינע בילדער און מוסטערן, און איך האף אז אייערע האריזאנטן זענען פארברייטערט געווארן דורך די איבעראשנדע געדאנקען וואס האבן צו טון מיט אומענדלעכקייט. איך פארשטיי אז די טעמע האט צו טון מיט רעלאטיוו ווייניג פאר אייער קינד צו שפילן מיט גלייך, ממילא האף איך צו געבן אייער קינד אביסל מער צו שפילן מיט קומענדיגן חודש. איך האף אז איר אלע וועט האבן א שיינעם טהאנקסגיווינג!