家庭活动

花瓣

在一个神奇的花园里，有两种花。一种有4片花瓣，另一种有7片花瓣。一个孩子被要求摘一些花，使花瓣总数为13片。这能做到吗？15片花瓣呢？花瓣总数在哪些情况下是可能的？对于可能的花瓣数量，是否有多种方法可以实现？例如，32片花瓣可以用4个7和一个4组成，也可以用8个4组成。

通过尝试许多数字组合，我们可以得到很多例子。对于某些数字组合，存在一个临界点，使得所有花瓣数量都可能出现；而对于其他数字组合，则不存在这样的临界点。例如，对于 4 和 7，从 18 开始的所有数字都是可能的。而对于 3 和 6，则不存在一个临界点，使得所有数字都出现。

模式是什么？是什么造就了这种模式？这些是经常被提出的问题，也是许多有趣事情发生的地方。

最容易理解的方法是观察某个数能整除两个数的情况。例如，3 和 6。可以把它们看作 1 × 3 和 2 × 3。把这两个数加起来，结果总是会包含若干个 3。但 3 和 6 加起来不可能等于 10，因为 10 不是 3 的倍数。

当 1 是唯一能同时整除这两个数的数时，总会存在一个点，使得所有小于 1 的数都能被 1 整除。例如，对于 4 和 7 来说，这个点就是 18。要找到这个点，需要分别从这两个数中减去 1，然后将减去 1 的数相乘。在这个例子中，结果是 3 × 6 = 18。这种情况的另一个有趣之处在于，小于 18 的数中恰好有一半是可以被 1 整除的。要理解其中的原理，需要一些对小孩子来说略显复杂的数学知识；然而，玩玩这些计算游戏很有趣，而且你的孩子在日后或许会突然领悟到这些规律的意义。

攀登台阶——有多少种方法？

假设你的孩子有时喜欢一步两级地走，有时又喜欢一步一级地走。如果你的孩子想上几级台阶，一个很自然的问题是：有多少种方法可以做到这一点？
例如，0 步只有一种选择——你只需站在那里。1 步也只有一种选择——你迈出一步。2 步则有两种选择：你可以迈出一步，也可以迈出两步。

你的孩子应该仔细统计很多这样的情况，并把结果做成表格。当信息量很大时，表格通常有助于整理信息，并使规律更加突出。表格大概是这样的（好吧，超过 6 个可能需要太多耐心，但这里是数字）：

1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55

观察这些数字后，您的孩子可能会注意到，每两个相邻数字之和都等于下一个数字。这是为什么呢？这些数字被称为斐波那契数列。斐波那契数列的构成规则是：每个数字都是前两个数字之和。这个规则同样适用于数列的每一步。嗯……

我们仔细来看一个例子——假设要走5步。共有8种可能性：1+1+1+1+1、1+1+2+1、1+2+1+1、2+1+1+1、2+2+1、1+1+1+2、1+2+2和2+1+2。前5种可能性最后一步都用了数字1，后3种可能性最后一步都用了数字2。这就解释了——你可以通过两种方式走5步：先走4步再走1步，或者先走3步再走2步。走5步的方法数正好等于走4步的方法数加上走3步的方法数之和。

通常，理解规律需要耐心分析例子、整理数据、仔细研究数据，并探究事物发生的原因。这是应该培养孩子的好习惯。

天平秤

天平是一种简单的装置，可以用来判断两个物体的重量是否完全相同。天平通常配有一套砝码，用于测量其他物体的重量。如果你限制可以使用的砝码种类，就可以进行许多有趣的实验。

一种重量：假设你有很多砝码，但它们的重量都相同——比如说，5 个单位。那么你只能精确称量重量为 5 的倍数的物体（就像按 5 跳数一样）。

两种砝码——单侧使用假设你有很多砝码，它们的重量要么是 4 个单位，要么是 7 个单位，并且你只将它们放在天平的一侧。你能称量的物体数量与你在花瓣实验中发现的数量相同。对于 4 和 7 这两种重量的砝码，从 18 个单位开始，你可以精确称量所有物体。如果砝码的重量是 4 个单位或 6 个单位，那么你只能称量从 4 开始的偶数个物体。

两种砝码——两侧都适用在用两种砝码分别称量物品的一侧后，如果您让孩子用4个和7个砝码来称量一个3个单位的物品，甚至一个1个单位的物品，他们可能会感到惊讶。诀窍在于将一些砝码放在一侧，另一些砝码放在另一侧。例如，验证一个物品的重量是3个单位，方法是将其与一个4个单位的砝码放在一起，看看它是否能与一个7个单位的砝码平衡。同样地，验证一个物品的重量是1个单位，方法是将其与一个7个单位的砝码放在一起，看看它是否能与两个4个单位的砝码平衡。

这项探究活动中隐藏着一个重要的数学定理，叫做贝祖定理。你的孩子现在不需要了解这个定理，但是让一个年幼的孩子接触到高等数学难道不是一件很酷的事情吗！

重量倍增：如果你分别用 1、2、4、8 和 16 这几个倍数的砝码来称量重量为 13 的物体，会怎么样？有多少种称量方法可以称量出重量为 13 的物体？你能称量的最大重量是多少？

经过一番研究，你会发现你可以称量所有小于最大重量两倍的物体——在本例中是 31。此外，每个物体只能用一种方式称量——例如，13 = 1 + 4 + 8，没有其他方法。是不是很神奇？这种情况与二进制数系统有关。

斐波那契数列重量：如果重量是斐波那契数列中的数字，会发生什么？某些重量是否存在多种称量方法？找到一个限制条件，使得每个重量只有一种称量方法。

假设你分别用 1、1、2、3、5、8 和 13 这六个数字表示权重。那么，10 = 2 + 3 + 5 = 2 + 8 = 1 + 1 + 3 + 5 = 1 + 1 + 8。造成重复的原因是斐波那契数列允许用多个数字来表示斐波那契数列中的数字——例如，2 = 1 + 1，8 = 5 + 3。解决这个问题的方法是规定数列中不能使用相邻的两个斐波那契数。加上这个限制后，得到 10 的唯一方法是 2 + 8。

这些调查旨在让您的孩子玩耍和思考。让您的孩子探索这些调查，寻找有趣的模式和精妙的联系。请克制住揭晓答案的冲动。如果您的孩子似乎遇到了瓶颈，请建议他们以后再回来继续调查。

许多调查研究都需要整理结果，而这正是您可以帮助孩子做的。帮助他们制作表格、图画或其他任何有助于他们更清晰地理解问题的资料。当然，偶尔给予他们一些温和的引导也是完全可以的。记住，培养孩子的坚持不懈精神和深入思考的能力，对他们大有裨益。