本周谜题

的挑战

需要注意的是，对于任意 n，可能的解的数量是有限的。如果 1/N = 1/A – 1/B，那么 1/A – 1/N = 1/B > 0。1/A – 1/N > 0 意味着 N > A。因此，1 < A < N，这意味着最多有 N – 2 个解，可以通过检查该范围内所有 A 的值来找到它们，虽然过程比较繁琐。

对于分母为偶数的情况，例如 2d，总有 1/2d = 1/d – 1/2d。

另一种求差的方法是从一个加法公式开始。最简单的公式是 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]。这可以简化为 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]。更一般的公式是 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)]，这可以简化为 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)]，其中 ab > 1。

因此，只要分母可以分解为 a(a+b) 的形式，其中 a 和 b 为正数且 ab > 1，我们就得到一个差分。特别地，因为每个大于 2 的数 n 都可以写成 n = 1 × (1 + (n-1)) 的形式，所以每个埃及分数至少可以用一种差分形式表示。以下是一些例子：

• ⁷³：a = 1，b = 2，结果为 ½ – ⁶⁷
• ¼：a = 1，b = 3，得出 ⅓ – 1/12
• ⅕：a = 1，b = 4，得出 ¼ – 1/20
• ⅙：a = 1，b = 5，结果为 ⅕ – 1/30；a = 2，b = 1，结果为 ½ – ⅓
• 1/7：a = 1，b = 6，得出 ⅙ – 1/42
• ⅛：a = 1，b = 7，结果为 1/7 – 1/56；a = 2，b = 2，结果为 ¼ – 1/8

这并非全部。例如，我们漏掉了 ⅙ = ¼ – 1/12。

深入一些代数运算，对于 a > 1 和 b > a > 1，考虑等式 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab。消去分母得到 ab = n(ba)，解得 n = ab/(ba)。只要找到满足上述等式的 a 和 b 值，我们就能计算出差值。

让我们从这个角度来看几个例子的完整解决方案，看看能否发现一些规律。

• 3 = 2 × 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 × 4 / (4 - 2) = 3 × 12 / (12 - 3)
• 5 = 4 × 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 × 3 / (3 – 2) = 3 × 6 / (6 – 3) = 4 × 12 / (12 – 4) = 5 × 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 × 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 × 8 / (8 – 4) = 6 × 24 / (24 – 6) = 7 × 56 / (56 – 7)

从这些例子来看，当 n 为素数时，方程组似乎只有一个解。我们来看看为什么。如果 n 是素数且 a < n，那么 n = a×b / (b – a) 就迫使 b 是 n 的倍数，例如 b = n×c。然后 n = a×nc / (nc – a) 表示 ac / (nc – a) = 1，这意味着 ac = nc – a。重新整理后得到 nc = a(c + 1)。因为 n 是素数，所以 c + 1 = n，a = c = n – 1。因此，a = n – 1 且 b = n(n-1) 是唯一的解。