寻找平方数 – 3
在这个网格中，用红色绘制了两个 1×1 的正方形和一个 2×2 的正方形，它们有水平边和垂直边。
的挑战
在这个网格中找出所有不同大小的正方形。注意，有些正方形没有水平边和垂直边。对于你找到的每种大小的正方形，它的面积是多少？知道面积后，它的边长是多少？
勘探
你能找到计算这些面积的不同方法吗？你能只根据一条边的描述找到边长的公式吗？
笔记
挑战与探索
求边长分别为水平和垂直方向的正方形的面积很容易。这样的正方形有四个，边长分别为 1×1、2×2、3×3 和 4×4，面积分别为 1、4、9 和 16。
其他几个正方形就比较棘手了。诀窍在于将区域分割成若干个已知面积的小块。或者，我们可以用一个更大的正方形包围这个正方形，然后观察其中的小块。
让我们来看一个正方形，它的边长为三，向上延伸一。
我们可以将四个内部的蓝色直角三角形与白色正方形组合起来计算面积。这样得到的面积为 4 × (½ × 3 × 1) + 2 × 2 = 6 + 4 = 10。边长为 10 的平方根。我们也可以通过从外面的大正方形中减去四个绿色直角三角形来计算面积。这样得到的面积为 4 × 4 – (4 × (½ × 3 × 1)) = 16 – 6 = 10，与之前相同。
对于任何对角线上的正方形，都可以使用类似的方法。
做完几个这样的练习后，感兴趣的学生可能会注意到其中的规律。学生的代数水平可能还不足以理解这一点，但如果将这些数字列成表格，即使不用字母表示，也能看出其中的规律。设“a”表示边向右延伸的距离，“b”表示边向上延伸的距离。从内部计算面积相当于将 4 × (½ × axb) + (a – b) × (a – b) 相加，结果为 a² + b²。从外部计算面积则相当于将 (a + b) × (a + b) – 4 × (½ × axb) 相加，结果相同。
我们已经找到了勾股定理的两种证明！