平铺矩形
你有两个难题。对于一个 1×n 的长方形，有多少种方法可以用 1×1 的正方形和 1×2 的长方形混合填充？对于一个 2×n 的长方形，有多少种方法可以用 1×2 的长方形填充？
的挑战
为什么这两个谜题的答案相同？当填充的矩形边长为 10 时，答案是什么？当矩形边长为 20 时呢？
勘探
这两个问题与之前的拼图有何相似之处？如果我们用 1×1 和 1×3 的拼图块代替 1×n 的拼图块，情况会有什么变化？如果我们用 1×1、1×2 和 1×3 的拼图块代替 1×n 的拼图块，情况又会有什么变化？
笔记
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的挑战
懂得如何将先前的研究成果应用到新问题的部分或全部解决中是一项强大的技能。
这两个拼图本质上完全相同。2×n矩形中的竖向拼图块对应于1×n矩形中的1×1拼图块，2×n矩形中的横向拼图块对应于1×n矩形中的1×2拼图块。因此，这两个拼图之间实际上没有任何区别。
此外，1×n矩形拼图与“斐波那契数列2”中的步数拼图完全相同。一步一步地移动就像放入一个1×1的正方形，一步两步地移动就像放入一个1×2的矩形。这两个拼图本质上是相同的，因此分析和结果也相同。
勘探
如果我们使用 1×1 和 1×3 的矩形，情况就会大不相同。观察前几个值，思考它们的计算方式。前几个值分别是 1、1、2、3、4、6 和 9。通常，下一个值是当前值与前两个值之和。计算起来很简单，但这不再是斐波那契数列了。
如果我们采用 1 对 1、1 对 2 和 1 对 3 的方式，情况会发生更显著的变化。现在，前几个值分别是 1、2、4、7、13 和 24。序列中的下一个值是前三个值的总和。
像这样用包含前面项的公式来定义后续项的数列称为递归数列。斐波那契数列并非唯一的递归数列，但它可能是最著名的。