2025 年 4 月

表彰 EFM 志愿者

我们的志愿者对我们触及世界各地的人们至关重要。过去六个月里，我一直在表彰这些优秀的志愿者，我希望继续这一传统。

俄语 – Danel、Violeta、Margarita、Viktoriia

我从这些译者那里经常听到的一种说法是，他们想要回馈自己的社区，想要帮助改善母语人群的数学教育。他们深知自己在成长过程中所享有的优势，他们希望所有孩子都能拥有同样的经历。

问题解决策略

正如我在这些简报中多次提到的，解决问题是数学学习的核心。仅仅让孩子接触解决问题是不够的，更重要的是要给他们提供能够帮助他们有效解决问题的工具。与其他数学学习一样，孩子们在学习这些策略的过程中会受益匪浅。如果从小就开始进行这种训练，那么到了中学阶段，孩子就能掌握一套强大的工具来解决问题。

新加坡数学认识到这些策略对幼儿的重要性。他们将12种策略分为四组。我很欣赏他们对这些策略的重视；不过，我将介绍一些更简单的策略，并重点讲解几种对幼儿特别有用的策略。

谜题——柯尼斯堡之桥： 我记得在学校里做过这个谜题。谜题问的是，是否有可能组织一场游行，使其恰好经过柯尼斯堡镇的每座桥一次。请看下面的简化地图。

我很快意识到这是不可能的，但我不知道该如何证明，或者如何解释这种不可能！我没有任何方法可以探究这个问题，我束手无策。我们必须确保下一代不会重蹈我的覆辙。

策略一：通过大量练习例题、简化问题版本或完成问题的一部分来学习。

这种策略有很多细微的变体，但这句话概括了它的精髓。它是我所知的最有效、最常用的策略之一。我的研究生导师非常提倡做大量的练习，并从中尽可能多地学习。这种策略也很容易从小就应用于儿童身上。

对于这个谜题，有很多更简单的图示可供尝试，其中一些已在上方展示。尝试这些图示，或许还可以尝试其他图示，最终会发现一个规律：任何连接奇数条边的节点都一定是某条路径的起点或终点。这是理解这些游行谜题的关键所在。

仅仅一个例子往往不足以看清谜题背后的运作机制。在特定情况下，人们很容易被无关紧要的细节所分散注意力。通过观察大量的例子，模式就会逐渐显现，那些至关重要的共同特征也会开始凸显出来。

玩转这些例子的另一个乐趣在于，它们可能会引导你提出新的问题。玩转这些例子后，你可能会问：哪些图的路径可以起点和终点相同？哪些图不可能存在任何路径？

谜题——如何成为尼姆棋高手 1-2： 我总是会玩这个游戏，因为它是我最喜欢的例子之一。假设你有十个物品，你和你的对手每回合都可以从牌堆中移除1或2个物品。移除最后一个物品的玩家获胜。先手还是后手更好？你的策略是什么？

十这个数字太大了，难以看出策略，所以我们把它简化一下。我让我的高三学生做这个练习时，他们会选择像3或5这样的数字。如果能提供信息，那就总是从最简单的版本（本例中是1）开始，逐步深入。写下如果轮到你，一堆东西里有1、2、3、4或5个，会发生什么。几秒钟后，规律就会显现，你就掌握了诀窍。

谜题——他们是否束手无策？ 我见过很多成年人在聚会上苦苦思索这个谜题很久。谜题上说绳子松松地系在手腕上，所以你可以把绳子系在手腕上的空间拉大一些，这样就能简化谜题——答案几乎立刻就揭晓了！

谜题：海盗与黄金： 这个谜题的通常版本有五个海盗和100枚金币，但我想要一个更适合5岁孩子玩的版本，即使只有三个海盗也仍然很有挑战性。如果只有一个海盗，难度会大大降低。解出一个海盗的情况后，再解出两个海盗的情况，最后解出三个海盗的情况。注意，即使你跳过一个海盗的情况，解出两个海盗的情况仍然需要一些思考——你应该总是先解出最简单的情况，尤其是那些只需要几秒钟就能解出的情况。

策略二：做好记录——制作条理清晰的表格、清单和图表，并保留中间计算过程。

我曾让一些学生做完尼姆游戏的简单题型，却仍然没能发现其中的规律。阻碍他们的是糟糕的记录方式。他们把例子写得满纸都是（甚至好几张纸都写满了！），所以很难找到规律。其实，制作条理清晰的表格、列表和图表并不需要花费太多时间，却能起到至关重要的作用。

谜题 – 走廊： 这道谜题对于本月简报的目标读者来说太复杂了，但我还是忍不住要分享，因为它能帮我阐明一个观点。假设你有一条走廊，走廊两侧各有1000个房间，所有房间的灯都关着。现在有一个自动灯光开关系统，但它失控了——它先打开所有房间的灯，然后打开每隔一个房间的灯，接着打开每隔两个房间的灯，以此类推，直到最后打开每隔1000个房间的灯。那么，哪些房间的灯是亮着的呢？

1000 太大了，所以我们肯定要从更简单的版本入手。如果只做 1 或 2 个，数量又太少，无法得出任何有用的结果，因此，最简单的版本在这里并不适用。试试 30 个，看看会发生什么。如果你把 1 到 30 这几个数字写成一行，并记录开关的次数，你会发现 1、4、9、16 和 25 号房间亮着。你可能会意识到这些房间都是正方形，然后你会觉得你已经解决了这个问题。

等等！为什么是这些灯亮着呢？如果你只是简单地记录哪些灯亮着，你可能完全摸不着头脑。但是，如果你在每个数字下面记下触发开关切换的步骤，你就会发现这些步骤对应的是该数字的约数，而约数个数为奇数的数字最终会被点亮。保留初步的计算和数据非常有用——保持整洁并不意味着把所有东西都扔掉！

在 2024 年 9 月的通讯中，我谈到了数据分析以及表格、列表和图表如何帮助人们更好地理解数学问题，如果您想了解更多相关信息，请参阅那篇文章。

策略三：寻找问题的极端或孤立部分

谜题——连续数字： 即使是很早期的谜题也能从这些策略中受益。如果你要在这个方格中填入 1 到 8 这几个数字，哪些数字比较特殊？开头和结尾的数字 1 和 8 都只有一个相邻的数字，所以它们与其他数字（有两个相邻的数字）不同。它们应该放在特殊的位置吗？稍微思考一下就会发现，它们必须放在中间的方格里，一旦你完成了这一点，剩下的就很容易了。

谜题 – 求和组： 这里还有一个早期谜题，运用这些策略会很有帮助。这里的极端点是什么？最小和最大的数字的匹配方式非常有限，所以从这些地方入手是个不错的选择。此外，角点（以及在较小程度上，边缘点）的匹配也受到限制。一旦你确定了 1、2、8 和 9 的匹配方式，剩下的部分就会很快解开。

谜题——相等的乘积： 在乘法运算中，质数往往是特殊的数字。那么，2、3、5 和 7 在这里会发生什么呢？质数 2 和 3 可以出现在 1 到 9 之间的其他数字中，但质数 5 和 7 只能出现在它们自身。因此，5 和 7 必须排除。排除之后，这个谜题就变得容易多了。

谜题——等和： 这个谜题的极限是三个圆圈中数字的共同和。中间的圆圈有三个数字，所以共同和的最小值是 1 + 2 + 3 = 6。每个外圈都有两个彼此不同的数字，所以共同和的最大值是 2 + 5 = 3 + 4 = 7。现在共同和已经缩小到 6 或 7，谜题就容易多了。

策略四：运用智能猜测和检验

人们往往认为“猜测与检验”是愚钝之人束手无策时才会采取的策略。这些人白白错失了一种非常有效的策略。

谜题——追踪腿部位置： 一位农夫共有200只鸡和200头牛。奇怪的是，农夫数腿的时候发现竟然有680条腿。请问这200只鸡和200头牛分别有多少只？这位农夫到底是怎么回事？

如果有200头牛，就会有800条腿；如果有200只鸡，就会有400条腿。我们假设每种动物各100只，这样就有600条腿。为了得到更多的腿，我们需要更多的牛。我们假设有150头牛——这样就有700条腿。如果把牛的数量减少到140头，就正好有680条腿。

善于思考的人在使用“猜测与检验”方法时会注意到，腿的数量增加幅度是奶牛数量增加幅度的两倍，然后利用这一信息来改进未来的试验数量。如果你在进行“猜测与检验”时能够观察和思考，它就具备了策略一的许多优点。

策略五：找到一个你已经知道如何解决的相关问题

Nim游戏有很多版本。假设你想了解的是从0开始，每次增加一两件物品，最终物品总数达到10的人获胜的版本。

这和之前描述的尼姆游戏版本很像，我们已经学过怎么解了。想象一下，旁边有十个东西等着添加到堆里，每次你往添加堆里加一两个，就等于从十个的堆里减去一个或两个——添加堆正好达到十，减去堆也正好是零！

策略六：反向推导，并从两端同时着手。

这对于许多几何证明都非常有效，但当然，这些难题比本通讯的重点要复杂得多。

益智寻宝游戏： 即使像这样的小谜题，如果我们只从头开始向前解，也会有很多选择需要考虑。但是，我们可以将向前解和从目标向后解结合起来。

从起点出发，我们可以前往右上角或左下角。从这两个角出发，共有四个方向需要考虑，这确实有点多。

哪些方格可以落到 $$ 目标方格？只有一个方格可以落到那里，那就是 $$ 旁边方格中的“1”。继续往下，也只有一个方格可以到达这个“1”，那就是“1”所在列第二行的“2”。很快，这种回溯就会回到之前找到的四个前进方向之一，然后就完成了。

总结

希望您喜欢这次关于问题解决策略和各种谜题的讨论。如果您想了解更多，我推荐波利亚的开创性著作（虽然有些老派）《如何解题》和J·梅森的优秀著作《数学思维》。如果您仍然意犹未尽，我还有一篇题为《问题解决》的论文草稿，或许能给您带来一些启发。您可以在以下网址找到我的论文： https://kitchentablemath.com/thoughts/problem-solving 点击该页面上的“继续阅读”按钮即可下载。