2024 年 6 月

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幼儿拓扑学——第一部分

我的博士论文研究的是代数拓扑，所以拓扑学和数论（上个月的主题）都是我非常感兴趣的数学领域。你和你的孩子并不需要攻读博士学位才​​能享受拓扑学中许多有趣且引人入胜的主题。

拓扑学的核心在于理解和描述形状，并判断两个形状相同的原因。如果你有两个看起来截然不同的形状，比如两个纽结，你如何判断它们是否相同？它们相同又意味着什么呢？

拓扑学通常认为，如果两个事物可以平滑地弯曲、拉伸或挤压，使其中一个变成另一个，那么它们就是同一个。一个常见的例子是茶杯和甜甜圈。如果你把茶杯想象成用黏土做的，你可以平滑地变形和挤压杯身，直到茶杯只剩下一个把手。这时，你就得到了一个甜甜圈！

拓扑学研究任意维度的空间。在本系列文章中，我们将分两部分探讨一维和二维空间。本月我们将深入学习曲线，下个月我们将探索曲面。

简单闭合曲线

简单闭合曲线是指起点与终点相连且不自相交的曲线。这类曲线在平面或球面（球的表面）上的一个重要性质是，它们将表面分割成三部分——曲线本身以及曲线两侧的两个空间。需要注意的是，这种分割性质在环面（甜甜圈的表面）上并不适用——环面上有很多简单闭合曲线，例如环绕圆孔的曲线，它们只会将环面分割成两部分。

调查——内部和外部

假设你在纸上画了一条简单的闭合曲线。如果你在曲线上选取一点，有什么简单的方法可以判断这个点是在曲线的内侧还是外侧？如果曲线是圆，那就很容易判断。假设这是一条非常复杂的曲线，类似于第二张图。那么，A 点和 B 点哪个在曲线的内侧呢？

为了回答这个问题，你可以绕着曲线走一圈，看看这个点是否与曲线外侧相连。不过，还有一种更简单的方法。从这个点向曲线外侧画一条线，随意穿过曲线，然后数一数穿过的次数。你会发现，无论你如何画这条线，穿过曲线的次数总是相差一个偶数——要么全是奇数，要么全是偶数——这是为什么呢？哪些穿过曲线的次数表明这个点在曲线内侧？孩子需要发现的关键是，每次穿过曲线，你都在曲线的内侧和外侧之间转换。这对于刚开始学习奇数和偶数的孩子来说，是一个很好的探索活动。

游戏——萌芽

“萌芽”游戏是一种练习曲线内外边界的趣味方式。游戏开始时，玩家在纸上任意位置画2或3个点。之后，玩家可以进行两种添加线段的操作：连接两个不同的点，或者连接一个点到自身。线段可以是曲线，但不能与自身或其他任何线段相交。此外，每个点最多只能连接三条线（如果一条线段的起点和终点都位于该点，则该点被计为两条连接线）。添加一条线段时，需要在新线段的内侧（而非端点处）添加一个新点。最后添加一条合法线段的玩家获胜。

以下是一个从两个点开始的 Sprouts 游戏示例。此示例摘自维基百科文章（链接如下）。

对于喜欢这款游戏的孩子来说，有很多种玩法变化。此外，还有一些有趣的分析方法。作为参考，请查看以下内容： 维基百科上关于豆芽的文章。

绳结、辫子和链环

曲线可以以多种方式与自身或其他曲线缠绕。其中一些非常优美，在世界许多地方都被视为艺术形式。

三维和四维的结

结是一条简单的闭合曲线。如果一个环的各个部分可以平滑地移动，使其看起来像一个标准的圆，那么它就被称为解结。

纸上的所有闭合环路都必须是未打结的。你可以看看闭合曲线在环面（甜甜圈的表面）或其他更复杂的二维曲面上是否能形成结。

在四维及更高维度中，所有纽结都可以利用额外的维度解开，因此所有这些纽结实际上都是未解的纽结。您可以和孩子一起探索这个四维概念：将第四维度想象成时间，并思考如何利用时间维度来解开一个纽结。令人惊讶的是，对于拓扑学家来说，三维以上空间的这一特性却是一个至关重要的区别。

如何判断两个绳结是否相同？如何判断一个绳结的图示是否实际上是一个解开的绳结？甚至有时很难判断图示显示的是单环还是多环。

探索更多 维基百科关于纽结理论的文章 如果您想查看基本绳结的描述，本文还介绍了如何证明同一绳结的两幅图画实际上是相同的。

两个谜题——循环与连接

从拓扑学家的角度出发，有助于解决这两个难题。

这个小游戏非常适合在社交活动中作为破冰游戏。首先将参与者分成两人一组。给每个人一根长绳子（至少4英尺长），让他们将绳子的两端松松地系在手腕上（松紧度很重要，但只需告诉他们这是为了舒适即可）。需要注意的是，在系绳子的过程中，他们的绳子需要穿过同伴的绳圈，如图左所示。

这个谜题的目的是让他们在不剪断绳子的情况下把自己分开。绳子必须足够长，这样人们才会忍不住想穿过对方的绳圈，或者做其他一些傻事。

作为拓扑学家，你知道如果绳子紧紧地系在手腕上，那么绳子和身体就会形成一个简单的环——而如果两个简单的环连接在一起，那么不剪断绳子就无法将它们分开。因此，手腕处的松散连接至关重要。接下来，同样作为拓扑学家，你知道手腕周围的空间大小无关紧要，所以要尽可能地留出很大的空间。一旦你做到了这一点，解决方案就会显而易见。

第二个谜题比较简单，它由两组三个点组成，每组点使用相同的三种颜色。难点在于画出三条曲线，每条曲线连接两个相同颜色的点，且任意两条曲线都不交叉。

六个点的排列方式并不重要，您可以尝试一些对孩子来说可能更具挑战性的排列方式。为了减少可能性，您可以将最上面的三个点贴在相框顶部，或者像图中所示，将四个点贴在相框底部。

解开这些谜题的关键在于意识到，未连接到框架上的点可以随意移动（再次从拓扑学的角度出发）。因此，先将这些点移动到容易解谜的位置，然后画出线条——接着，在线条仍然连接的情况下，慢慢地将点移动到它们应该在的位置，同时根据需要弯曲线条。

艺术——环形和结图案

世界各地许多文化都擅长运用环扣和绳结编织出精美绝伦的图案。这篇文章已经有点长了，所以我就只提供一些链接，方便大家查看剩余的素材。

凯尔特结图案：从维基百科开始了解 凯尔特结.

来自非洲的卢索纳（Sona 的复数形式）沙画：从……开始 维基百科关于卢索纳语的条目。

吉里赫——伊斯兰结饰图案：从……开始 维基百科上关于吉里赫的条目。

编织和梭编结：维基百科上又有一篇关于编织的文章，还有一篇关于梭编的文章，但你也可以找到很多教程网站，教你如何制作各种结。

辫子：就像绳结一样，辫子也有一整套数学理论。对于普通人来说，阅读各种关于编发和用辫子制作首饰项链的文章会更有乐趣。

总结（或者说） 我希望我已经向你介绍了一些与孩子一起玩曲线和环形图案的新方法，希望能给你带来乐趣。下个月我们将进入下一个维度，探索曲面。