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龍之曲線：一段神奇的數學之旅 我很高興地宣布推出全新的、免費的EFM註釋故事書版本。 龍形曲線 作者：艾莉西亞‧伯德斯。這個迷人的故事講述了一個女孩探索分形的奇妙之旅，她用一張長紙折疊出各種形狀。適逢本期簡報的主題是分形，所以這篇故事的發布可謂恰逢其時。
表彰 EFM 志願者
在「早期家庭數學」計畫中，所有成員都是無償志工。每一個人都是。上個月我開始表彰一些優秀的志願者，這個月我想繼續這個傳統。
英格麗、戴安娜、加比和瑪麗亞
這四位譯者組成了EFM強大的西班牙文翻譯團隊。他們是我們最早的譯者，翻譯了我們大部分的故事書和親子活動手冊。他們來自不同的西班牙語國家，我經常會旁聽他們熱烈地討論如何選擇在所有西班牙語國家通用的詞彙，這讓我覺得很有趣。
Vasilica
他是一位在法國任教的教師，教授學生將英語翻譯成法文。兩年多來，他的學生已經將大部分EFM故事書翻譯成了法文。
分形
分形是一種幾何圖形，其內部精細的結構元素與整體圖形相似。這種內部細節通常無限延伸，使得人們可以不斷放大，並且始終看到類似整體圖形的景象。
自然界中許多事物都具有分形形狀：雪花、閃電、鸚鵡螺殼、螺旋星系、向日葵、蕨類植物、綠花椰菜、山脈和海岸線。此外，許多人造設計的形狀也具有分形特徵。計算機使得這些數學定義的圖形的可視化變得更加容易，也更加令人嘆為觀止。
曼德布洛集
這或許是分形行為中最著名的例子。這個集合是用複數定義的，所以我不會贅述它的數學原理。它之所以如此聞名，部分原因在於許多人創作的精美圖像，無論是靜態圖片還是動態影像，都以非凡的方式展現了該集合的部分區域。不妨在網路上探索一番，欣賞許多藝術家的創意作品。這裡有一張來自維基百科的圖片，由沃爾夫岡·拜爾（Wolfgang Beyer）使用 Ultra Fractal 3 程式製作。
科赫雪花
這種形狀是和孩子一起製作的最容易的分形之一。首先畫一個正三角形（所有邊長都相等）。將每條邊分成三份，在每個中間的三角形上畫一個新的小三角形，然後擦掉中間的三角形。完成後，用新的邊重複這個過程。以下是維基百科上由 Chas_zzz_brown 和 Shibboleth 繪製的插圖，展示了前四個步驟：
除了欣賞結果的美麗之外，關於這條曲線還有一些很自然的問題需要提出。
經過若干步後，圖形有幾條邊？初始時有 3 條邊。一步後有 12 條邊。第二步後有 48 條邊。每一步邊數都增加 4 倍。
經過一定步數後，曲線有多長？答案非常令人驚訝。假設起始邊長為 1，則初始三角形的邊長為 3。經過一步後，三角形有 12 條邊，每條邊長為 1/3，因此總長度為 12 × 1/3 = 4。再經過一步後，長度變成 48 × 1/9 = 16/3。每一步長度增加 4/3。如果透過無限次地進行此操作來完成任務，最終得到的曲線長度將是無限的，但可以放入一個 1×1 的方框中！
萊維 C 曲線是另一種分形曲線，其結構與科赫雪花相似。
龍之曲線和艾莉西亞·伯德斯的書
伯德斯的書就留給你們自己去下載閱讀吧。 龍之曲線：一段神奇的數學之旅, 探索這條曲線的有趣特性。這裡有一張由普羅科菲耶夫為維基百科提供的、鋪滿平面的龍形曲線集合的圖片。
謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯、謝爾賓斯基四面體和門格爾海綿
這四個圖形的結構相似。
對於這個三角形，先畫一個實心的正三角形。第一步，將這個三角形分成四個相等的部分，並且去除中間的三角形。第二步，將剩下的三個三角形分別分成四個相等的部分，並分別去掉每個部分的中間三角形。如此反复，直到你累了為止。以下是Beojan Stanislaus為維基百科繪製的圖示。
地毯最初是一個填滿的正方形。第一步，將其分成9個大小相等的正方形，並移除其中最中間的正方形。第二步，將剩下的每個正方形再分成9個較小的正方形，並移除每個小正方形的中心正方形。如此反复，直到完成整個過程。
三角形和地毯的一個令人驚訝的特性是它們的面積都為 0。對於三角形來說，每一步剩餘的面積都是前一步面積的 3/4。如果一直乘以 3/4，剩餘面積就會無限小。地毯的情況也類似，只不過每次乘以的是 8/9。
謝爾賓斯基四面體和門格海綿分別是三角形和地毯的立體版本。它們有一個令人驚訝的特性：既沒有體積也沒有表面積！
以下是維基百科上關於製作門格海綿的前四個步驟的圖片。
分數維度
無限過程可能會帶來一些令人驚訝的結果。我們的直覺常常會被無限所顛覆。一個很好的例子是，1874年，格奧爾格·康托爾證明了無限集合的大小各不相同，而且實際上存在無窮多種大小，這令數學界震驚不已。當時，這項發現極具爭議性，以至於他被一些當時最著名、最受尊敬的數學家斥為騙子和江湖術士。
我們已經看到，在一個有限的區域內可以有一條無限長的曲線（例如科赫雪花），而且我們可以從一個實體區域中取出稀疏的一組碎片，最終得到沒有剩餘面積的圖形（例如謝爾賓斯基圖形）。
分析分形圖形的人意識到，這些圖形在維度上的表現與典型的圖形截然不同。例如，分析英國海岸線的人們發現，隨著放大倍率的增加和細節的增多，海岸線的長度反而越來越長。這項研究的一個重要成果是對「維度」意義的全新詮釋。
假設你有一個一維、二維或三維圖形，並且想要創造一個邊長是原始圖形兩倍的新版本。
如果你取一條線段，可以用它複製兩份，使其長度加倍。如果你從一個正方形開始，需要將四個正方形拼接起來才能得到一個邊長翻倍的新正方形。如果你有一個立方體，需要將八個立方體拼接起來才能得到一個邊長翻倍的新立方體。人們認為，維度的自然概念是由一個計算得出的，這個計算涉及將邊長增加所需數量所需的部件數的冪次方。線段是一維的，因為 2^1 = 2；需要兩份才能使其長度翻倍。正方形是二維的，因為 2^2 = 4；需要四份才能使其邊長翻倍。立方體是三維的，因為 2^3 = 8；需要八份才能使其邊長翻倍。
這種維度定義正是用來定義所謂的… 分形維數 豪斯多夫維數形狀的冪。回顧謝爾賓斯基三角形，需要 3 個相同的三角形才能組成一個邊長是原始三角形兩倍的新三角形。要得到 3 個，我們需要將 2 的 1.585 次方提升。對於地毯來說，需要 8 個相同的地毯才能組成一個邊長是原地毯三倍的新地毯。要得到 8 個，我們需要將 3 的 1.8928 次方提升！
想像一下，尺寸分別為 1.585 和 1.8928 的數字！
電影和圖片中的分形
分形的一個絕妙應用是能夠有效地創建逼真的電腦生成影像，用於照片和影片。利用少量資料集和演算法，可以產生山脈、鄉村和火焰等逼真的影像，而且與細節水平相當的真實影像相比，這些影像更容易進行後期處理。
結束語
希望您喜歡這些美麗的圖片和圖案，也希望這些關於無限的奇妙想法能拓展您的視野。我知道這個主題目前對您的孩子來說直接可以玩耍的內容相對較少，所以下個月我希望能為您的孩子提供更多可以玩耍的東西。祝大家感恩節快樂！