表彰 EFM 志願者
我們的志工對我們觸及世界各地的人們至關重要。在過去六個月裡，我一直在表彰這些優秀的志願者，我希望繼續這項傳統。
俄語 – Danel、Violeta、Margarita、Viktoriia
我從這些譯者那裡經常聽到的一種說法是，他們想要回饋自己的社區，想要幫助改善母語人群的數學教育。他們深知自己在成長過程中所享有的優勢，他們希望所有孩子都能擁有同樣的經驗。
問題解決策略
正如我在這些簡報中多次提到的，解決問題是數學學習的核心。僅僅讓孩子接觸解決問題是不夠的，更重要的是要提供他們能夠幫助他們有效解決問題的工具。與其他數學學習一樣，孩子在學習這些策略的過程中會受益匪淺。如果從小就開始進行這種訓練，那麼到了中學階段，孩子就能掌握一套強大的工具來解決問題。
新加坡數學認識到這些策略對幼兒的重要性。他們將12種策略分成四組。我很欣賞他們對這些策略的重視；不過，我將介紹一些更簡單的策略，並重點介紹幾種對幼兒特別有用的策略。
謎題－柯尼斯堡之橋： 我記得在學校做過這個謎題。謎題問的是，是否有可能組織一場遊行，使其恰好經過柯尼斯堡鎮的每座橋一次。請看下面的簡化地圖。
我很快就意識到這是不可能的，但我不知道該如何證明，或如何解釋這種不可能！我沒有任何方法可以探究這個問題，我束手無策。我們必須確保下一代不會重蹈我的覆轍。
策略一：透過大量練習例題、簡化問題版本或完成問題的一部分來學習。
這種策略有很多細微的變體，但這句話概括了它的精髓。它是我所知的最有效、最常用的策略之一。我的研究生導師非常提倡做大量的練習，並從中盡可能多地學習。這種策略也很容易從小就應用在兒童身上。
對於這個謎題，有許多更簡單的圖示可供嘗試，其中一些已在上方展示。試試這些圖示，或許還可以嘗試其他圖示，最終會發現一個規律：任何連接奇數邊的節點都一定是某條路徑的起點或終點。這是理解這些遊行謎題的關鍵。
僅僅一個例子往往不足以看清謎題背後的運作機制。在特定情況下，人們很容易被無關緊要的細節所分散注意力。透過觀察大量的例子，模式就會逐漸顯現，那些至關重要的共同特徵也會開始凸顯出來。
玩這些例子的另一個樂趣在於，它們可能會引導你提出新的問題。玩轉這些範例後，你可能會問：哪些圖的路徑可以起點和終點相同？哪些圖不可能存在任何路徑？
謎題－如何成為尼姆棋高手 1-2： 我總是會玩這個遊戲，因為它是我最喜歡的例子之一。假設你有十個物品，你和你的對手每回合都可以從牌堆中移除1或2個物品。移除最後一個物品的玩家獲勝。先手還是後手比較好？你的策略是什麼？
十這個數字太大了，很難看出策略，所以我們把它簡化一下。我讓我的高三學生做這個練習時，他們會選擇像3或5這樣的數字。如果能提供訊息，那就總是從最簡單的版本（本例中是1）開始，逐步深入。寫下如果輪到你，一堆東西裡面有1、2、3、4或5個，會發生什麼事。幾秒鐘後，規律就會顯現，你就掌握了訣竅。
謎題——他們是否束手無策？ 我看過很多成年人在聚會上苦思這個謎題很久。謎題上說繩子鬆鬆地綁在手腕上，所以你可以把繩子綁在手腕上的空間拉大一些，這樣就能簡化謎題——答案幾乎立刻就揭曉了！
謎題：海盜與黃金： 這個謎題的通常版本有五個海盜和100枚金幣，但我想要一個更適合5歲孩子玩的版本，即使只有三個海盜也仍然很有挑戰性。如果只有一個海盜，難度會大大降低。解出一個海盜的情況後，再解出兩個海盜的情況，最後解出三個海盜的情況。請注意，即使你跳過一個海盜的情況，解出兩個海盜的情況仍然需要一些思考——你應該總是先解出最簡單的情況，尤其是那些只需要幾秒鐘就能解出的情況。
策略二：做好記錄－製作條理清晰的表格、清單和圖表，並保留中間計算流程。
我曾經讓一些學生做完尼姆遊戲的簡單題型，卻仍然沒能發現其中的規律。阻礙他們的是糟糕的記錄方式。他們把例子寫得滿紙都是（甚至好幾張紙都寫滿了！），所以很難找到規律。其實，製作條理清晰的表格、清單和圖表並不需要花費太多時間，卻能起到至關重要的作用。
謎題 – 走廊： 這道謎題對本月簡報的目標讀者來說太複雜了，但我還是忍不住要分享，因為它能幫我闡明一個觀點。假設你有一條走廊，走廊兩側各有1000個房間，所有房間的燈都關著。現在有一個自動燈光開關係統，但它失控了——它先打開所有房間的燈，然後打開每隔一個房間的燈，接著打開每隔兩個房間的燈，以此類推，直到最後打開每隔1000個房間的燈。那麼，哪些房間的燈是亮著的呢？
1000 太大了，所以我們肯定要從更簡單的版本開始。如果只做 1 或 2 個，數量又太少，無法得出任何有用的結果，因此，最簡單的版本在這裡並不適用。試試 30 個，看看會發生什麼。如果你把 1 到 30 這幾個數字寫成一行，並記錄開關的次數，你會發現 1、4、9、16 和 25 號房間亮著。你可能會意識到這些房間都是正方形，然後你會覺得你已經解決了這個問題。
等等！為什麼是這些燈亮著呢？如果你只是簡單地記錄哪些燈亮著，你可能完全摸不著頭腦。但是，如果你在每個數字下面記下觸發開關切換的步驟，你會發現這些步驟對應的是該數字的約數，而約數個數為奇數的數字最終會被點亮。保留初步的計算和數據非常有用——保持整潔並不意味著把所有東西都扔掉！
在 2024 年 9 月的通訊中，我談到了數據分析以及表格、列表和圖表如何幫助人們更好地理解數學問題，如果您想了解更多相關信息，請參閱那篇文章。
策略三：尋找問題的極端或孤立部分
謎題——連續數字： 即使是很早期的謎題也能從這些策略中受益。如果你要在這個方格中填 1 到 8 這幾個數字，哪些數字比較特殊？開頭和結尾的數字 1 和 8 都只有一個相鄰的數字，所以它們與其他數字（有兩個相鄰的數字）不同。它們應該放在特殊的位置嗎？稍微思考一下就會發現，它們必須放在中間的方格里，一旦你完成了這一點，剩下的就很容易了。
謎題 – 求和組： 這裡還有一個早期謎題，運用這些策略會很有幫助。這裡的極端點是什麼？最小和最大的數字的匹配方式非常有限，所以從這些地方入手是個不錯的選擇。此外，角點（以及在較小程度上，邊緣點）的匹配也受到限制。一旦你確定了 1、2、8 和 9 的匹配方式，剩下的部分就會很快解開。
謎題－相等的乘積： 在乘法運算中，質數往往是特殊的數字。那麼，2、3、5 和 7 在這裡會發生什麼事呢？質數 2 和 3 可以出現在 1 到 9 之間的其他數字中，但質數 5 和 7 只能出現在它們本身。因此，5 和 7 必須排除。排除之後，這個謎題就變得容易多了。
謎題——等和： 這個謎題的極限是三個圓圈中數字的共同和。中間的圓圈有三個數字，所以共同和的最小值是 1 + 2 + 3 = 6。每個外圈都有兩個彼此不同的數字，所以共同和的最大值是 2 + 5 = 3 + 4 = 7。現在共同和已經縮小到 6 或 7，謎題就容易多了。
策略四：運用智慧猜測與檢驗
人們往往認為「猜測與檢驗」是愚鈍之人束手無策時才會採取的策略。這些人白白錯失了一個非常有效的策略。
謎題——追蹤腿部位置： 一位農夫共有200隻雞和200頭牛。奇怪的是，農夫在數腿的時候發現竟然有680條腿。請問這200隻雞和200頭牛分別有幾隻？這位農夫到底是怎麼回事？
如果有200頭牛，就會有800條腿；如果有200隻雞，就會有400隻腳。我們假設每種動物各100隻，這樣就有600條腿。為了得到更多腿，我們需要更多的牛。我們假設有150頭牛——這樣就有700條腿。如果把牛的數量減少到140頭，就剛好有680條腿。
善於思考的人在使用「猜測與檢驗」方法時會注意到，腿的數量增加幅度是乳牛數量增加幅度的兩倍，然後利用這一資訊來改進未來的試驗數量。如果你在進行「猜測與檢驗」時能夠觀察與思考，它就具備了策略一的許多優點。
策略五：找到一個你已經知道如何解決的相關問題
Nim遊戲有很多版本。假設你想了解的是從0開始，每次增加一兩件物品，最終物品總數達到10的人獲勝的版本。
這和之前描述的尼姆遊戲版本很像，我們已經學過怎麼解了。想像一下，旁邊有十個東西等著添加到堆裡，每次你往添加堆裡加一兩個，就等於從十個的堆裡減去一個或兩個——添加堆正好達到十，減去堆也正好為零！
策略六：反向推導，並從兩端同時著手。
這對於許多幾何證明都非常有效，但當然，這些難題比本通訊的重點要複雜得多。
益智尋寶： 即使像這樣的小謎題，如果我們只從頭開始向前解，也會有很多選擇需要考慮。但是，我們可以將向前解和從目標向後解結合。
從起點出發，我們可以前往右上角或左下角。從這兩個角落出發，共有四個方向要考慮，這確實有點多。
哪些方格可以落在 $$ 目標方格？只有一個方格可以落到那裡，那就是 $$ 旁邊方格中的「1」。繼續往下，也只有一個方格可以到達這個“1”，那就是“1”所在列第二行的“2”。很快，這種回溯就會回到之前找到的四個前進方向之一，然後就完成了。
結束語
希望您喜歡這次關於問題解決策略和各種謎題的討論。如果您想了解更多，我推薦波利亞的開創性著作（雖然有些老派）《如何解題》和J·梅森的優秀著作《數學思維》。如果您仍然意猶未盡，我還有一篇題為《問題解決》的論文草稿，或許能為您帶來一些啟發。您可以在以下網址找到我的論文： https://kitchentablemath.com/thoughts/problem-solving 點擊該頁面上的「繼續閱讀」按鈕即可下載。