Vind Vierkante – 1
In rooi geteken in hierdie rooster is twee 1 by 1 vierkante en een 2 by 2 vierkant met horisontale en vertikale sye.
DIE UITDAGING
Vind die aantal vierkante van alle groottes met horisontale en vertikale sye in hierdie rooster.
VERKENNING
Speel met selfs groter roosters. Kan jy 'n sistematiese manier ontdek om al die vierkante te tel? Hoe verander jou antwoord, indien enigsins, as die rooster van punte 'n reghoek is wat nie 'n vierkant is nie?
Notes
DIE UITDAGING
Die moontlike vierkante het sylengtes van 1 tot 4.
Vir elke grootte vierkant, dink aan die boonste linkerhoek as die beginposisie. Jy kan alle vierkante van hierdie grootte in die rooster produseer deur hierdie beginvierkant rond te skuif. Jy het die keuse om dit na regs of af te skuif met die oorblywende aantal posisies. Dit is onafhanklike keuses, so jy kry kwadraat van daardie grootte vierkant.
Byvoorbeeld, veronderstel jy tel 1 by 1 vierkante in hierdie 4 by 4 rooster. 'n 1 by 1 vierkant in die boonste linkerhoek kan 1 of 2 na regs en 1 of 2 afwaarts geskuif word. Dus is daar 3 moontlike posisies horisontaal (as die oorspronklike posisie getel word) en 3 moontlike posisies vertikaal. Dus is daar 3 x 3 van hierdie 1 by 1 vierkante.
Vir die oorspronklike 4 by 4 roosterprobleem gee dit die volgende telling:
- 1 by 1 vierkante: 3 x 3 = 9
- 2 by 2 vierkante: 2 x 2 = 4
- 3 by 3 vierkante: 1 x 1 = 1.
Daar is 'n totaal van 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 moontlike vierkante.
VERKENNING
Vir enige vierkantige rooster sal die totale aantal vierkante die som van die vierkantgetalle wees wat kleiner is as die grootte van die rooster. Byvoorbeeld, 'n 7 by 7 rooster sal 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 vierkante hê.
Reghoekige roosters is amper net so maklik om te tel. Die kleinste van die twee dimensies van die reghoek sal die maksimum grootte van die moontlike vierkante beperk. Tel hulle op 'n soortgelyke manier as in die geval van 'n vierkantige rooster. In plaas daarvan om die algemene geval te doen, kom ons doen net een illustratiewe voorbeeld.
Gestel jy tel die vierkante in 'n 5 by 7 rooster. Omdat daar slegs 5 rye is, kan geen vierkant groter as 4 by 4 wees nie.
- 1 by 1 vierkante: 4 x 6 = 24
- 2 by 2 vierkante: 3 x 5 = 15
- 3 by 3 vierkante: 2 x 4 = 8
- 4 by 4 vierkante: 1 x 3 = 3
Die totale aantal vierkante is 24 + 15 + 8 + 3 = 50.