ألغاز الأسبوع

التحدي والاستكشاف

يمكن تجربة هذا الأمر والاستمتاع به تمامًا باستخدام ورقة رسم بياني وملاحظة النتائج. كما يمكن اتباع نهج أكثر منهجية ودقة.

أول ما يُلاحظ هو أن حجم الطاولة ليس بنفس أهمية شكلها. أي مستطيل مشابه لآخر (له نفس نسبة أطوال الأضلاع) سيعطي نفس النتيجة. لذا، فإن طاولة 3×4 ستكون مماثلة لطاولة 6×8 وطاولة 9×12.

من التمارين المفيدة في هذه المرحلة جمع نتائج ما يحدث للجداول 1 × n و 2 × n.

• 1 × ن: ستأخذ الكرة ن - 1 ارتدادًا وستنتهي في الزاوية اليمنى السفلية إذا كان ن زوجيًا، وفي الزاوية اليمنى العلوية إذا كان ن فرديًا.
• طاولة 2×n: إذا كان n = 2k، فإن طاولة 2×2k تتصرف مثل طاولة 1×k (لأنهما متشابهتان). في طاولة 2×(2k + 1)، هناك n ارتدادًا وتستقر الكرة في الزاوية العلوية اليسرى.

وبعد إجراء المزيد من التجارب، ظهرت نتيجة عامة!

نتيجة

إذا لم يكن للعددين k و n عوامل مشتركة، فإن جدول ak × n سيحتوي على k + n - 2 ارتدادًا. ستستقر الكرة في الزاوية العلوية اليسرى إذا كان k زوجيًا. إذا كان k فرديًا، فستستقر الكرة في الزاوية العلوية اليمنى إذا كان n فرديًا، وفي الزاوية السفلية اليمنى إذا كان n زوجيًا. أما إذا كان للعددين k و n عوامل مشتركة، فاقسم هذه العوامل وطبّق النتيجة على الأعداد المختزلة.

إحدى التقنيات الرائعة لتسهيل رؤية ذلك هي "فرد" ارتدادات الكرة. اصنع شبكة من الطاولات، كما هو موضح في الصورة، ودع الكرة تسير في خط مستقيم عبر جميع أسطح الطاولات!