Popunjavanje trouglova trouglovima
Pravilan trougao je onaj čije su sve stranice i uglovi jednaki (jednakostraničan je i jednakougaonog oblika). Evo kako popuniti jedan veliki pravilni trougao sa 1, 4 ili 7 pravilnih trouglova.
IZAZOV
Pronađite ostale brojeve pravilnih trouglova za popunjavanje velikog pravilnog trougla. Možete li to uraditi za 2, 3, 5, 6, 8, 9 ili 10 pravilnih trouglova?
ISTRAŽIVANJE
Kad god je moguće, pronađite više od jednog načina da dobijete neke od ovih brojeva.
bilješke
IZAZOV
Evo sistematskog načina izgradnje različitih brojanja.
Kvadrati: Dobro je početi s kvadratnim brojevima. Lako je popuniti trokut s 1, 4 i 9 trokuta popunjavanjem pravilnim uzorkom korištenim na sljedećoj ilustraciji.
Parni brojevi: Nakon malo eksperimentisanja, možete kreirati uzorke za 6, 8, 10 ili bilo koji drugi veći parni broj na sljedeći način. Počnite s velikim trouglom, a zatim stavite manje trouglove duž jedne stranice.
Zamjena jednog trougla: Sljedeći veliki korak je uvidjeti da se bilo koji trougao u rješenju može zamijeniti bilo kojim drugim postojećim rješenjem. Na primjer, ovo je urađeno prilikom kreiranja obrasca za 7 u uvodu – trougao u centru za „4“ zamijenjen je sa četiri manja trougla da bi se dobilo „7“.
Kad god se jedan trougao zamijeni sa četiri trougla, to će povećati ukupan broj trouglova za 3. Počnite s listom rješenja koristeći kvadratne i parne brojeve: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 i 16, a zatim dodajte 3 svakom unosu na toj listi da biste dobili 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 i 17. Kombiniranjem ove dvije liste dobijamo sve mogućnosti do 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 i 17. Koristeći ove ideje, svaki broj iznad 17 je dovoljno jednostavan, pa dolazimo do zaključka da:
Odgovor: Svaki broj je moguć osim 2, 3 i 5.
ISTRAŽIVANJE
Neki od ovih brojeva mogu se dobiti na više načina. Na primjer, 9 se može dobiti kao uzorak 3 puta 3 ili kao 6 plus još tri. Naravno, postoje i drugi zanimljivi načini popunjavanja trougla koje treba otkriti.