Proizvod jednak zbiru
IZAZOV
Pretpostavimo da imate pet pozitivnih cijelih brojeva, A, B, C, D i E, tako da je sljedeće tačno. Koja je najveća moguća vrijednost bilo kojeg od ovih brojeva?
A x B x C x D x E = A + B + C + D + E
ISTRAŽIVANJE
Šta bi se desilo kada biste imali drugačiji broj brojeva u ovakvoj jednačini?
bilješke
IZAZOV
Dok zurite u problem, shvatate da želite da steknete određenu prednost nad činjenicom da, kako se brojevi povećavaju, zbir neće rasti ni približno brzo kao proizvod. Jedna jednostavna stvar koju možete uraditi je da zbir pretvorite u proizvod na sljedeći način.
Pretpostavimo da su brojevi A, B, C, D i E u opadajućem redoslijedu tako da je A najveća vrijednost (može biti izjednačena s drugima). Tada je A + B + C + D + E ≤ 5A. Shodno tome, A x B x C x D x E = A + B + C + D + E ≤ 5A. Stoga imamo B x C x D x E ≤ 5. Pošto su ovo cijeli brojevi, to nam ostavlja vrlo malo mogućnosti za razmatranje!
Svaki od njih će biti naveden redoslijedom B, C, D, E.
- 5, 1, 1, 1: Tada je A x 5 x 1 x 1 x 1 = A + 5 + 1 + 1 + 1, dakle 5A = A + 8. To bi značilo da je A jednako 2, što se ne može dogoditi jer se pretpostavlja da je A najveća vrijednost.
- 4, 1, 1, 1: Tada je A x 4 x 1 x 1 x 1 = A + 4 + 1 + 1 + 1, dakle 4A = A + 7. To bi značilo 3A = 7, što je nemoguće.
- 3, 1, 1, 1: Tada je A x 3 x 1 x 1 x 1 = A + 3 + 1 + 1 + 1, dakle 3A = A + 6. To bi značilo 2A = 6, dakle A = 3. Ovo daje rješenje 3 x 3 x 1 x 1 x 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9.
- 2, 1, 1, 1: Tada je A x 2 x 1 x 1 x 1 = A + 2 + 1 + 1 + 1, pa je 2A = A + 5. To bi značilo A = 5. Ovo daje rješenje da je 5 x 2 x 1 x 1 x 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.
- 1, 1, 1, 1: Tada je A x 1 x 1 x 1 x 1 = A + 1 + 1 + 1 + 1, pa je A = A + 4, što je nemoguće.
● 2, 2, 1, 1: Tada je A x 2 x 2 x 1 x 1 = A + 2 + 2 + 1 + 1, pa je 4A = A + 6. To bi značilo A = 2. Ovo daje rješenje da je 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8.
Dakle, postoje tri rješenja: 3, 3, 1, 1, 1; 5, 2, 1, 1, 1; i 2, 2, 2, 1, 1. Najveći broj koji se pojavljuje u bilo kojem od ovih rješenja je 5.
ISTRAŽIVANJE
Vrlo slična analiza može se uraditi za bilo koji broj brojeva. Što je broj veći, to više treba analizirati.
Za 2, 3 i 4 broja dobijamo:
- 2 x 2 = 2 + 2
- 3 x 2 x 1 = 3 + 2 + 1
- 4 x 2 x 1 x 1 = 4 + 2 + 1 + 1
Pored ovih konkretnih odgovora, nakon što se uradi nekoliko primjera, „jasno je“ da kada postoji n brojeva, najveći broj će uvijek biti „n“ povezan sa rješenjem nx 2 x 1 x 1 x … x 1 = n + 2 + 1 + 1 + … + 1.