Productes iguals
EL REPTE
Troba set dígits individuals diferents que facin que aquests tres productes siguin iguals.
EXPLORACIÓ
Després de resoldre això, pensa què fa que sigui un trencaclosques interessant. Com podries canviar el trencaclosques i mantenir-lo interessant? Què passa si fas servir la suma en comptes de la multiplicació?
notes
EL REPTE:
Primer, fixeu-vos que el 5 no pot ser un dels dígits. Si ho fos, podria estar en com a màxim dos dels grups de tres; això significaria que un o dos dels grups tindrien un factor de 5, però els restants no. De la mateixa manera, el 7 no pot ser un dels dígits.
Això deixa els set dígits, 1, 2, 3, 4, 6, 8 i 9, que s'han d'utilitzar tots.
L'ús de factoritzacions primeres facilita molt la comprensió del que passa a la resta de l'anàlisi. Haurem d'equilibrar el nombre de factors de 2 i el nombre de factors de 3 entre els tres productes.
El producte d'aquests set dígits és 27 × 34. Quin ha de ser el producte comú? Ha de ser com a mínim 23 × 32, ja que hi haurà un 8 i un 9 en algun lloc de la solució. Si multipliquem els tres grups, això crea un producte total de 29 × 36. Com que C i E són les úniques lletres repetides en multiplicar els tres productes, això significa que C × E = 22 × 32. L'única manera de fer-ho és que C i E siguin 4 i 9.
Una comprovació ràpida revela que augmentar la potència de 2 o 3 no funcionarà.
Un cop establim C = 9 i E = 4, la resta segueix ràpidament.
La resposta és: 1 8 9 2 4 3 6.
EXPLORACIÓ:
El que fa que aquest trencaclosques sigui interessant és el paper que hi juguen els nombres primers. A més, la selecció de nombres és dos més que el nombre de dígits necessaris, i podem descartar exactament dues de les possibilitats.
Si féssim servir la suma en comptes de la multiplicació, hi hauria massa solucions. Un bon trencaclosques incorpora restriccions que el redueixen a només unes poques solucions.