Stejné součty – 4
VÝZVA
Zde je diagram vytvořený překrytím čtyř kruhů. Překrývající se kruhy vytvářejí osm oblastí. Do každé z osmi oblastí vložte číslo, přičemž každé z čísel od 1 do 8 použijte právě jednou tak, aby součet čísel v každém kruhu byl stejný.
PRŮZKUM
Kolik různých odpovědí můžete najít? Myslíte si, že jich je ještě víc? Co se stane, když použijete jiné číselné rozsahy? Existují další zajímavé problémy s protínajícími se kružnicemi, jako je tento?
Poznámky
VÝZVA A PRŮZKUM
Začněte tím, že určíte, jaké součty jsou možné pro společný součet všech kružnic. Nechť Součet je tato hodnota. Nechť A, B, C a D jsou hodnoty čtyř oblastí, kde se dva kruhy protínají. Součet čtyř kružnic je 4 x Součet a je také 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Pak máme rovnici 4 x Součet = 36 + A + B + C + D, takže Součet = 9 + (A + B + C + D) / 4. Nejmenší číslo, které může mít A + B + C + D, je 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Toto číslo musí být dělitelné, takže jeho nejmenší možná hodnota je 12, což znamená, že nejmenší možná hodnota je Součet = 9 + 12/4 = 12.
Všimněte si, že jakékoli řešení lze přeměnit na jiné řešení odečtením všech položek od 9. Tím se starý součet změní na 27 – součet. V důsledku toho jsou jediné možné hodnoty pro součet 12, 13, 14 a 15. Protože 12 a 15 jsou spolu svázané a 13 a 14 jsou spolu svázané, musíme hledat řešení pouze pro 12 a 13.
Zde jsou řešení pro Součet s hodnotami 12 a 13. Ukazuje se, že jsou to jediná řešení pro tyto dva součty.
Všimněte si, že čísla ve středech kruhů, které se navzájem nedotýkají, se sčítají na stejnou hodnotu. Například v diagramu úplně vlevo je 8 + 4 = 5 + 7. Dokažte, že se to vždy děje s trochou algebry. Nechť K a L jsou hodnoty ve středech dvou protilehlých kruhů a M a N nechť jsou další dvě hodnoty. Sečteme-li oblasti dvou kruhů pro K a L, dostaneme 2 x Součet = K + L + (A + B + C + D). Podobně sečtením oblastí dvou kruhů pro M a N dostaneme 2 x Součet = M + N + (A + B + C + D). To nutí K + L = M + N.
Všimněte si také, že protože 4 x Součet = 36 + A + B + C + D, dostaneme 2 x Součet = M + N + (4 x Součet – 36). Přepsáním dostaneme M + N = 36 – 2 x Součet. Pro naše čtyři hodnoty Součtu, 12 až 15, jsou hodnoty M + N 12, 10, 8 a 6.
Protože 12 = 4 + 8 = 5 + 7 jsou jediné způsoby, jak získat 12, je výše uvedené řešení pro Sum = 12 jediným řešením. Zatímco 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 naznačuje, že pro Sum = 13 existuje více možností, rychlá kontrola tří možných párů (2, 8), (3, 7) a (4, 6) ukazuje, že výše uvedené řešení je pro Sum = 13 jediné.