dubna 2026

Novinky

EFM slaví 5. narozeniny! –

Pro program Early Family Math uplynulo pět úžasných let od prvních webových stránek a newsletteru. Máme skvělou skupinu lidí, kteří náš program podporují (přidejte se k nám) a vytvořili jsme webové stránky, dvě mobilní aplikace a velmi rozsáhlou sbírku materiálů ve více než tuctu jazyků. Všem našim podporovatelům, kolegům a dárcům – děkujeme! Bez vás bychom to nedokázali!

Nové webové stránky – S radostí oznamujeme, že zhruba za týden se na www.EarlyFamilyMath.org objeví kompletně přepracované webové stránky EFM. Nabídnou vám mnoho nových funkcí, které si můžete užít, a zde je několik z nich:

* 104 světových jazyků podporováno strojovým překladem

* Kromě našich tradičních PDF souborů s lidskými překlady do tuctu jazyků nyní nabízíme možnost hrát si s tímto materiálem (například s našimi hádankami nebo hrami) přímo na našich webových stránkách ve 104 strojově přeložených jazycích.

* Nové postavy a ilustrace

Aplikace Early School Math – Mobilní aplikace Early School Math (ESM) se nyní v obou obchodech s aplikacemi připojuje k mobilní aplikaci Early Family Math (EFM).

ESM – Obchod Google Play

ESM – Apple

EFM – Obchod Google Play

EFM – Apple

Matematika a politická reprezentace

Vzhledem ke všem kontroverzím, které v dnešní době obklopují hlasování, se zdá být vhodné hovořit o matematických aspektech hlasování a o tom, jak si s nimi můžete hrát s dětmi.

Omezení se na používání celých čísel může vést k některým záludným problémům. Pokud recept vyžaduje použití 3 vajec, co dělat, když chcete připravit poloviční dávku, a co se stane se zbývajícími ingrediencemi?

Politické reprezentace jsou v tomto ohledu obzvláště ošemetnou oblastí. Předpokládejme, že statistiky obyvatelstva ukazují, že si váš stát zaslouží mít ve Sněmovně reprezentantů 14 2/3 zástupců. Použití této přesné odpovědi bude pro někoho dost nepříjemné. Je škoda, že nemůže být jediný zástupce se 14 2/3 hlasy, ale takhle to nefunguje.

Tento zpravodaj se zabývá třemi aspekty politické reprezentace, kde jsou řešení často překvapivě složitá a zajímavá.

Vytváření volebních okrsků – gerrymandering

Ačkoli se jedná o téma s dlouhou historií, gerrymandering se v posledním roce hojně objevuje v médiích. Gerrymandering označuje budování volebních okrsků s cílem získat nespravedlivou výhodu pro jednu stranu nebo věc ve volbách. Velkou otázku je velmi těžké definovat: Co znamená mít „nespravedlivou výhodu“?

Poté, co volební jurisdikce, například stát, zjistí, kolik má zástupců, musí rozdělit svou geografickou oblast do stejného počtu regionů. Existuje mnoho věcí, které by se daly zvážit, a neexistuje jasný způsob, jak dát spravedlivý hlas všem různým úvahám najednou. Je to tak obtížné, že se o tom zde ani nepokusím začít.

Místo toho se podíváme na to, jak lze věci záměrně manipulovat tak, aby byly nespravedlivé. Moji přátelé z Julia Robinson Mathematics Festival (JRMF) ( https://jrmf.org/ ) vytvořili pro děti několik hádanek s gerrymanderingem ( https://jrmf.org/puzzle/gerrymandering/ ) . Tyto hádanky dítě snadno pochopí, je s nimi zábava a poskytují jednoduché ilustrace toho, jak lze manipulovat s návrhem volebních okrsků tak, aby pomohly jedné či druhé straně.

Představte si, že výše uvedená mřížka představuje geografické rozložení voličů v okrsku, který je třeba rozdělit na pět stejných částí s pěti čtverečky v každé části (každý malý čtvereček představuje jednoho voliče). Dále předpokládejme, že modré čtverečky představují lidi, kteří mají zájem volit jedním směrem, a červené čtverečky volí opačným směrem.

* Jakými způsoby lze toto rozdělit, aby se pomohlo jedné nebo druhé straně?

* Pomocí různých návrhů distriktů najděte největší a nejmenší počet distriktů, které může červená ovládat. Proč musí červená dominovat alespoň několika distriktům, které vytvoříte?

Ve všech těchto gerrymanderingových hádankách JRMF existují dvě pravidla.

* Okresy musí být stejně velké (mít stejný počet malých čtverců).

* Každý okres je propojený – mezi libovolnými dvěma čtverečky v okrese musí být možné cestovat podél série čtverců v okrese, z nichž každá dvojice sdílí jednu stranu.

Vyzkoušejte si vzájemně volební okrsky s využitím různých velikostí, tvarů a barevných součtů a vytvořte tam překvapivé výsledky. JRMF má mnoho skvělých příkladů.

Pokud chcete být ambiciózní, vytvořte jurisdikci, která musí vyvážit dvě věci zároveň. A teď si představte, jaké to je, když máte třeba tucet věcí, které se musíte snažit spravedlivě vyvážit, ať už slovo „spravedlivě“ znamená cokoli.

To nejenže poskytne vašemu dítěti vhled do toho, jak gerrymandering funguje, ale je to také skvělý procvičovací prostředek pro násobení, dělení a rozdělování celé skupiny na stejné části.

Sněmovna reprezentantů

Možná si myslíte, že by bylo snadné přidělit počet zástupců Sněmovny reprezentantů každému státu v americké Sněmovně reprezentantů. Jakmile se (poněkud libovolně) rozhodnete o celkovém počtu zástupců pro celou Sněmovnu (od roku 1929 je stanoven na 435), vypočítáte, jaký podíl celkové populace má každý stát, a tento podíl zástupců jim přidělíte. Co by se mohlo pokazit?

Předpokládejme, že je 100 zástupců, čtyři státy (A, B, C, D) a státy si zasloužily následující zlomky z celkového počtu (1/5, 1/4, 3/10 a 1/4). V tomto případě by A dostal 20, B by dostal 25, C by dostal 30 a D by dostal 25. To je docela snadné.

Kéž by to bylo tak jednoduché. Vrátili jsme se k problému s možností používat pouze celočíselné odpovědi. Možná vás překvapí, že je to natolik složité, že od prvního systému vytvořeného Jeffersonem, který se používal v letech 1790 až 1830, byly použity čtyři různé metody.

Pokračujte s příkladem 100 zástupců pro státy A, B, C a D. Tentokrát předpokládejme, že by měly dostat 1/3, 1/6, 2/7 a 3/14. Pokud bychom mohli použít zlomkové zástupce, měli by 33 1/3, 16 2/3, 28 4/7 a 21 3/7 zástupců. Prvním krokem je dát čtyřem státům jejich základní celé počty zástupců: A – 33, B – 16, C – 28 a D – 21 zástupců. Velká otázka, o které se lidé hádali 150 let, je, co dělat se zbývajícími 2 zástupci.

Než budete číst dál, promluvte si s dítětem o tom, jak byste tento problém řešili.

Hamiltonova metoda, kterou většina lidí používá, říká, že zbývající zástupce byste měli dát státům s největším zlomkem. Při použití Hamiltonovy metody by se B změnilo ze 16 na 17 a C z 28 na 29. Hamiltonova metoda se používala v letech 1850 až 1890. Lidé objevili „Alabamský paradox“, ke kterému docházelo při zvýšení celkového počtu křesel ve Sněmovně reprezentantů, a krátce po tomto objevu byla Hamiltonova metoda zavržena.

Poměrně jednoduchý příklad věcí, které se mohou pokazit s Hamiltonovou metodou, lze vidět v těchto příkladech převzatých ze sad úloh Phillips Exeter Academy. Pro tento scénář existují tři státy, A, B a C. Pro každý scénář vypočítejte počet zástupců, které by každý stát obdržel pomocí Hamiltonovy metody. Po dokončení porovnejte výsledky a hledejte situace, které se zdají zvláštní nebo nespravedlivé.

Scénář 1: Celkem 100 zástupců. Populace A 453; B 442; C 105 – celkem 1000

Scénář 2: Celkem 101 zástupců. Populace A 453; B 442; C 105 – celkem 1000

Scénář 3: Celkem 100 zástupců. Populace A 647; B 247; C 106 – celkem 1000

Scénář 4: Celkem 100 zástupců. Populace A 650; B 255; C 105 – celkem 1010

Další rané systémy rozdělování křesel ve sněmovně vytvořili Jefferson, Adams a Webster. Jeffersonův systém byl poprvé použit v roce 1790. Zdá se, že je to pro tento zpravodaj příliš velká odbočka, takže přečtení o těchto a dalších používaných systémech nechám na dobrodružnějších čtenářích.

Diofantovy rovnice

Starověcí Řekové si původně mysleli, že všechna čísla lze vyjádřit jako zlomky s použitím celých čísel. To je velmi přirozeně vedlo k tomu, že se na matematické otázky zajímali pouze o celočíselné odpovědi. Na první pohled by se mohlo zdát, že tento omezující pohled by jim poskytl nenápadnou matematiku. Jak jsme však viděli, toto omezení vytváří zábavné výzvy, se kterými se je třeba vypořádat. Starověký Řek Diofant je tak slavný tím, že se těmito otázkami zabýval, že po něm pojmenoval celou sekci matematiky.

Mezi klasické příklady diofantových rovnic patří zkoumání celočíselných řešení rovnic jako ax + by = c a a^2 + b^2 = c^2 a zkoumání, kdy lze celé číslo zapsat jako součet dvou druhých mocnin.

Hlasovací systémy

Pokud hlasuje 99 lidí a je třeba volit dva kandidáty, A a B, je hlasování docela jednoduché – vyhrává ten, kdo získá 50 nebo více hlasů. Složitější je to, pokud hlasuje sudý počet lidí a je remíza. I pro 99 lidí existuje filozoficky problém, pokud 50 lidí sotva preferuje A před B a 49 lidí si myslí, že volba A je nemyslitelně špatná. Měl by vyhrát A? Místo hlasování pro A nebo B byste měli mít možnost přiřadit každému kandidátovi zlomkovou preferenci?

Pokud jsou kandidáti tři nebo více, je to mnohem složitější. Existuje mnoho způsobů, jak tuto situaci řešit, a může být zábavné je s dětmi prozkoumat. Prozkoumejte situace, kdy volby nedopadnou podle vašich představ. Předpokládejme, že 20 lidí hlasuje pro 4 kandidáty A, B, C a D.

* Možnost 1: Pokud nikdo nezíská většinu hlasů, dva kandidáti s nejvyšším počtem hlasů mají druhé kolo voleb. Předpokládejme, že A a B získají každý 6 hlasů a C a D získají každý 4 hlasy. Může to mít neblahé důsledky, pokud řekněme, že všichni lidé, kteří hlasovali pro D, by volili C, kdyby D nekandidoval. Tento požadavek může vést k financování drahého druhého kola voleb, ve kterém obvykle hlasuje mnohem méně voličů.

* Možnost 2: Vyhrává kandidát s nejvyšším počtem hlasů. Předpokládejme, že A získá 6 hlasů, B a C získají 5 hlasů a D získá 4 hlasy. Byla volba A skutečně tak populární? V roce 2024 vyhrál kandidát do Kongresu primární volby v Arizoně s necelou čtvrtinou hlasů.

* Možnost 3: Seřazená volba (také nazývaná Okamžitý druhý kolo). Tento systém se používá na Aljašce, v Maine a v řadě dalších jurisdikcí. V tomto systému každý volič seřadí všechny kandidáty podle svých preferencí. Pokud jeden kandidát získá většinu hlasů pro první místo, stává se vítězem. Pokud ne, je kandidát s nejmenším počtem hlasů pro první místo vyřazen (jako by se nikdy nezúčastnil voleb) a všichni voliči, kteří si tohoto kandidáta vybrali pro první místo, jsou nyní považováni za voliče, kteří hlasovali pro druhou možnost. Tento proces pokračuje podle potřeby, dokud není proveden výběr. Hlavní nevýhodou tohoto systému je, že je pro voliče složitější pochopit a učinit uváženou volbu a seřadit všechny kandidáty.

U prvních dvou možností existuje nebezpečí, že kandidáti třetích stran nebudou kandidovat, protože by mohli působit jako rušivý faktor pro jednoho ze dvou hlavních kandidátů. V prezidentských volbách v roce 2000 se všeobecně má za to, že kandidatura Ralpha Nadera jako kandidáta třetí strany změnila výsledek voleb – samozřejmě, pohled na alternativní vesmíry a analýza „co kdyby“ může být složité.

Zabalit

Doufám, že se vám bude líbit prohlížet si některá z těchto témat o hlasování s vaším dítětem. Uvědomuji si, že tyto příklady pokrývají řadu matematických dovedností – doufám, že vaše dítě si užije zkoumání těch, které mu nejlépe vyhovují.

Na dalších pět let zlepšování raného matematického vzdělávání! Byla to pro mě velmi naplňující cesta!