Rozbitá kalkulačka – 1
Máte kalkulačku, která je vážně rozbitá. Její jediné funkční klávesy jsou 4, 7, + a -. I s touto omezenou schopností je možné vypočítat každé číslo. Například:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
VÝZVA
Ukažte, že tato kalkulačka dokáže vypočítat všechna čísla od 1 do 12.
PRŮZKUM
Nahraďte čísla 4 a 7 jinými dvojicemi čísel. Kdy je možné získat všechna čísla od 1 do 12 a kdy je to nemožné? Dokážete se podívat na dvojici čísel a předpovědět, co se stane?
Poznámky
VÝZVA
Studenti experimentují se všemi čísly, která lze získat sečtením libovolného násobku čísla 4 s libovolným násobkem čísla 7. Aniž by jim to bylo řečeno, dívají se na tzv. Bezoutovu větu. Tato věta říká, že všechny možné kombinace násobků (kladných i záporných) dvou čísel jsou množinou násobků největšího společného dělitele (dělitele) těchto dvou čísel. Největší společný dělitel čísel 4 a 7 je 1, takže bychom měli být schopni získat všechna možná čísla. Navíc bude existovat nekonečný počet způsobů, jak každé z nich získat.
Zde je několik příkladů čísel od 1 do 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 × 4 – 5 × 7 = 16 × 4 – 9 × 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 × 7 – 10 × 4 = 10 × 7 – 17 × 4
- 3 = 7 – 4 = 5 × 7 – 8 × 4 = 9 × 7 – 15 × 4
- 4 = 4 = 4 × 7 – 6 × 4 = 8 × 7 – 13 × 4
- 5 = 3 × 4 – 7
- 6 = 2 × 7 – 2 × 4
- 7 = 7
- 8 2 = 4 x XNUMX
- 9 = 3 × 7 – 3 × 4
- 10 = 2 × 7 – 4
- 11 4 7 = XNUMX XNUMX XNUMX + XNUMX
- 12 3 = 4 x XNUMX
Jakmile máte kombinaci pro největší společný dělitel, můžete ji použít k získání libovolného násobku největšího společného dělitele. Pro čísla 4 a 7 je jeden ze způsobů, jak získat 1, jako 2 x 4 – 7. Libovolné jiné číslo, například 23, můžeme získat zápisem 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. Jakmile máme jedno řešení čísla, můžeme získat všechna ostatní řešení přičtením 0 k němu (vím, že to zní divně). Například máme 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7). Můžeme přičíst libovolný násobek (7 x 4 – 4 x 7) a hodnota se nezmění.
PRŮZKUM
Jak již bylo zmíněno výše, tento proces vygeneruje přesně všechny násobky největšího společného dělitele dvou čísel. Pokud je tento největší společný dělitel 1, pak budou vygenerována všechna čísla.
Vezměte si například 4 a 6. Jejich nejhlubší společný násobek je 2. Jakákoli kombinace násobků 4 a 6 bude vždy sudá, takže je nemožné vytvořit všechna čísla. To se stane zřejmějším, pokud si představíte 4 a 6 jako 2 krát 2 a 3. Víte, že součty násobků 2 a 3 vytvoří všechna čísla, protože jsou vzájemně prvočísla. Čísla 4 a 6 však každý z těchto součtů vynásobí 2, takže proto dostanete všechny násobky 2!