Vyplňování trojúhelníků trojúhelníky
Pravidelný trojúhelník je takový, jehož strany a úhly jsou stejné (je rovnostranný a rovnoúhlý). Zde je návod , jak vyplnit jeden velký pravidelný trojúhelník 1, 4 nebo 7 pravidelnými trojúhelníky.
VÝZVA
Najděte další počty pravidelných trojúhelníků pro zaplnění velkého pravidelného trojúhelníku. Můžete to udělat pro 2, 3, 5, 6, 8, 9 nebo 10 pravidelných trojúhelníků?
PRŮZKUM
Pokud je to možné, najděte více než jeden způsob, jak získat některá z těchto čísel.
Poznámky
VÝZVA
Zde je systematický způsob, jak sestavit různé počty.
Čtverce: Dobrým začátkem jsou čtvercová čísla. Trojúhelník lze snadno vyplnit 1, 4 a 9 trojúhelníky tak, že jej vyplníte pravidelným vzorem použitým na následujícím obrázku.
Sudá čísla: Po určitém experimentování můžete vytvořit vzory pro 6, 8, 10 nebo jakékoli jiné větší sudé číslo takto. Začněte s velkým trojúhelníkem a poté podél jedné strany umístěte menší trojúhelníky.
Nahrazení jednoho trojúhelníku: Dalším velkým krokem je zjistit, že jakýkoli trojúhelník v řešení lze nahradit jakýmkoli jiným existujícím řešením. Například to bylo provedeno při vytváření vzoru pro 7 v úvodu – trojúhelník uprostřed pro „4“ byl nahrazen čtyřmi menšími trojúhelníky, čímž vznikla „7“.
Kdykoli je jeden trojúhelník nahrazen čtyřmi trojúhelníky, celkový počet trojúhelníků se zvýší o 3. Začněte se seznamem řešení s použitím druhých mocnin a sudých čísel: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 a 16 a poté ke každé položce v tomto seznamu přidejte 3, abyste získali 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 a 17. Kombinací těchto dvou seznamů získáte všechny možnosti až do 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 a 17. S využitím těchto myšlenek je každé číslo nad 17 dostatečně snadné, a tak dojdeme k závěru, že:
Odpověď: Všechna čísla jsou možná kromě 2, 3 a 5.
PRŮZKUM
Některá z těchto čísel lze vytvořit více než jedním způsobem. Například číslo 9 lze vytvořit jako vzor 3 krát 3 nebo jako 6 plus tři další. Samozřejmě existují i další zajímavé způsoby, jak vyplnit trojúhelník.