Hádanky týdne

VÝZVA

Možné čtverce mají délky stran od 1 do 4.

Pro každou velikost čtverce si představte levý horní roh jako počáteční pozici. Všechny čtverce této velikosti v mřížce můžete vytvořit posunutím tohoto počátečního čtverce. Máte na výběr, zda jej posunete doprava nebo dolů o zbývající počet pozic. Jedná se o nezávislé volby, takže dostanete druhá mocnina čtverce oné velikosti.

Předpokládejme například, že v této mřížce 4 x 4 počítáte čtverce 1 x 1. Čtverce 1 x 1 v levém horním rohu lze posunout o 1 nebo 2 doprava a o 1 nebo 2 dolů. Existují tedy 3 možné polohy vodorovně (počítáno od původní polohy) a 3 možné polohy svisle. Existují tedy 3 x 3 těchto čtverců 1 x 1.

Pro původní úlohu s mřížkou 4 x 4 to dává následující počet:

• Čtverce 1 krát 1: 3 x 3 = 9
• Čtverce 2 krát 2: 2 x 2 = 4
• Čtverce 3 krát 3: 1 x 1 = 1.

Celkem je 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 možných čtverců.

PRŮZKUM

Pro jakoukoli čtvercovou mřížku bude celkový počet čtverců roven součtu čísel čtverců menšímu než velikost mřížky. Například mřížka 7 x 7 bude mít 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 čtverců.

Obdélníkové mřížky se počítají téměř stejně snadno. Menší ze dvou rozměrů obdélníku omezí maximální velikost možných čtverců. Spočítejte je podobným způsobem jako v případě čtvercové mřížky. Místo obecného případu si uveďme jeden ilustrativní příklad.

Předpokládejme, že počítáte čtverce v mřížce 5 x 7. Protože je zde pouze 5 řádků, žádný čtverec nemůže být větší než 4 x 4.

• Čtverce 1 krát 1: 4 x 6 = 24
• Čtverce 2 krát 2: 3 x 5 = 15
• Čtverce 3 krát 3: 2 x 4 = 8
• Čtverce 4 krát 4: 1 x 3 = 3

Celkový počet čtverců je 24 + 15 + 8 + 3 = 50.