April 2026

Nyheder

EFM fylder 5 år! –

Det har været fem vidunderlige år for Early Family Math siden det første websted og nyhedsbrev. Vi har en fantastisk gruppe mennesker, der støtter vores program (vær venlig at deltage), og vi har lavet et websted, to mobilapps og en meget stor samling af materialer på over et dusin sprog. Til alle vores støtter, kolleger og donorer – Tak! Vi kunne ikke have gjort det uden jer!

Ny hjemmeside – Vi er glade for at kunne meddele, at www.EarlyFamilyMath.org om cirka en uge vil vise en fuldstændig opdateret EFM-hjemmeside frem. Den har mange nye funktioner, som du kan nyde, og her er et par stykker:

* 104 verdenssprog understøttes via maskinoversættelse

* Ud over vores traditionelle PDF-filer med menneskelige oversættelser på et dusin sprog, tilbyder vi nu muligheden for at lege med dette materiale (såsom vores puslespil eller spil) direkte på vores hjemmeside på 104 maskinoversatte sprog.

* Nye figurer og illustrationer

Early School Math-appen – Mobilappen Early School Math (ESM) er nu en del af mobilappen Early Family Math (EFM) i begge appbutikker.

ESM – Google Play Butik

ESM – Apple

EFM – Google Play Butik

EFM – Apple

Matematik og politisk repræsentation

Med alle de kontroverser, der omgiver afstemning i disse dage, føles det betimeligt at tale om de matematiske aspekter af afstemning, og hvordan man kan lege med dem med børn.

At være begrænset til at bruge hele tal kan føre til nogle vanskelige problemer at løse. Hvis en opskrift kræver brug af 3 æg, hvad gør du så, hvis du vil lave en halv portion, og hvad sker der med de resterende ingredienser?

Politiske repræsentationer er en særlig vanskelig arena for dette. Antag, at befolkningsstatistikkerne viser, at din stat fortjener at have 14 2/3 repræsentanter i Repræsentanternes Hus. At bruge præcis det svar vil virke ret ubehageligt for nogen. Det er en skam, at der ikke kan være en enkelt repræsentant med 14 2/3 stemmer, men sådan fungerer det ikke.

Dette nyhedsbrev ser på tre aspekter af politisk repræsentation, hvor løsningerne ofte er overraskende vanskelige og interessante.

Oprettelse af valgkredse – Gerrymandering

Selvom det er et emne med en lang historie, har valgkredse været meget i nyhederne i hvert fald det sidste år. Valgkredse refererer til at opbygge valgkredse for at opnå en urimelig fordel for et parti eller en sag ved et valg. Det store spørgsmål er meget svært at definere: Hvad vil det sige at have en "urimelig fordel"?

Når en stemmeberettiget jurisdiktion, såsom en stat, finder ud af, hvor mange repræsentanter den har, skal den opdele sit geografiske område i det pågældende antal regioner. Der er rigtig mange ting, der kan overvejes, og der er ingen klar måde at give en fair stemme til alle de forskellige overvejelser på samme tid. Det er så vanskeligt, at jeg ikke engang vil forsøge at komme i gang med det her.

I stedet vil vi se på, hvordan ting bevidst kan manipuleres til at være uretfærdige. Mine venner på Julia Robinson Mathematics Festival (JRMF) ( https://jrmf.org/ ) har lavet nogle gerrymandering-gåder til børn ( https://jrmf.org/puzzle/gerrymandering/ ) . Disse gåder er lette at forstå for et barn, er sjove at lege med og giver enkle illustrationer af, hvordan designet af valgkredse kan manipuleres for at hjælpe den ene eller den anden side.

Forestil dig, at gitteret ovenfor repræsenterer den geografiske opdeling af vælgere i en valgkreds, der skal opdeles i fem lige store dele med fem firkanter hver (hver lille firkant repræsenterer en enkelt vælger). Antag desuden, at de blå firkanter er personer, der er interesserede i at stemme på den ene måde, og de røde firkanter stemmer på den modsatte måde.

* Hvordan kan dette opdeles for at hjælpe den ene eller den anden side?

* Brug forskellige distriktsdesign til at finde det største og mindste antal distrikter, som rød kan kontrollere. Hvorfor skal rød dominere mindst nogle få af de distrikter, du opretter?

I alle disse JRMF gerrymandering-gåder er der to regler.

* Distrikterne skal være lige store (have samme antal små firkanter).

* Hvert distrikt er forbundet – det skal være muligt at rejse mellem to felter i et distrikt ved at rejse langs en række felter i distriktet, hvor hvert par deler en side.

Udfordr hinanden ved at bruge forskellige jurisdiktioners størrelser, former og farvetotaler til at lave valgkredse, hvor I kan skabe overraskende resultater. JRMF har mange gode eksempler.

Hvis du vil være ambitiøs, så skab en jurisdiktion, hvor to ting skal balanceres på samme tid. Forestil dig nu, hvordan det er, når du måske har et dusin ting, du skal forsøge at balancere retfærdigt, uanset hvad "retfærdigt" betyder.

Dette giver ikke blot dit barn indsigt i, hvordan gerrymandering fungerer, det er også god øvelse i at gange, dividere og opdele en hel gruppe i lige store dele.

Repræsentanternes Hus

Du tror måske, det ville være nemt at tildele antallet af repræsentanter i Repræsentanternes Hus til hver stat i det amerikanske Repræsentanternes Hus. Når du (noget vilkårligt) har besluttet det samlede antal repræsentanter for hele Repræsentanternes Hus (sat til 435 siden 1929), beregner du, hvilken andel af hele befolkningen hver stat har, og giver dem den andel af repræsentanterne. Hvad kunne gå galt?

Antag, at der er 100 repræsentanter, fire stater (A, B, C, D), og at staterne fortjente følgende brøkdele af det samlede antal (1/5, 1/4, 3/10 og 1/4). I dette tilfælde ville A få 20, B ville få 25, C ville få 30, og D ville få 25. Det er ret nemt.

Åh, hvis bare det var så simpelt. Vi vender tilbage til problemet med kun at kunne bruge hele tal som svar. Du vil måske blive overrasket over at erfare, at dette er vanskeligt nok til, at der har været fire forskellige metoder brugt siden det første system skabt af Jefferson, som blev brugt fra 1790 til 1830.

Fortsæt med eksemplet med 100 repræsentanter for staterne A, B, C og D. Denne gang antager vi, at de får 1/3, 1/6, 2/7 og 3/14. Hvis vi kunne bruge brøkdele af repræsentanter, ville de have 33 1/3, 16 2/3, 28 4/7 og 21 3/7 repræsentanter. Det første skridt er at give de fire stater deres grundlæggende hele antal repræsentanter: A – 33, B – 16, C – 28 og D – 21 repræsentanter. Det store spørgsmål, som folk har brugt 150 år på at diskutere, er, hvad de skal gøre med de resterende 2 repræsentanter.

Inden du læser videre, så tal med dit barn om, hvordan du ville tackle dette problem.

Hamilton-metoden, som er den metode de fleste bruger, siger, at man skal give de resterende repræsentanter til de stater med de største brøker. Ved at bruge Hamiltons metode ville B gå fra 16 til 17, og C ville gå fra 28 til 29. Hamiltons metode blev brugt fra 1850 til 1890. Folk opdagede "Alabama-paradokset", der opstod, da det samlede antal pladser i Repræsentanternes Hus blev øget, og kort efter denne opdagelse blev Hamilton-metoden forkastet.

Et forholdsvis simpelt eksempel på ting, der kan gå galt med Hamilton-metoden, kan ses i disse eksempler lånt fra Phillips Exeter Academys problemsæt. Til dette er der tre stater, A, B og C. For hvert scenarie skal du beregne antallet af repræsentanter, som hver stat ville modtage ved hjælp af Hamilton-metoden. Når du er færdig, skal du sammenligne resultaterne og se efter situationer, der virker mærkelige eller urimelige.

Scenarie 1: 100 repræsentanter i alt. Populationer af A 453; B 442; C 105 – i alt 1000

Scenarie 2: 101 repræsentanter i alt. Populationer af A 453; B 442; C 105 – i alt 1000

Scenarie 3: 100 repræsentanter i alt. Populationer af A 647; B 247; C 106 – i alt 1000

Scenarie 4: 100 repræsentanter i alt. Populationer af A 650; B 255; C 105 – i alt 1010

Andre tidlige systemer til fordeling af sæder i Repræsentanternes Hus blev skabt af Jefferson, Adams og Webster. Jeffersons systemer blev oprindeligt brugt i 1790. Det virker som en for stor sidestrækning til dette nyhedsbrev, så jeg vil overlade det til mere eventyrlystne læsere at læse om disse og andre systemer, der er blevet brugt.

Diofantiske ligninger

De gamle grækere troede oprindeligt, at alle tal kunne udtrykkes som brøker ved hjælp af hele tal. Det førte til, at de helt naturligt kun var interesserede i svar på matematiske spørgsmål med hele tal. Ved første øjekast skulle man måske tro, at denne restriktive opfattelse ville give dem uinspirerende matematik at arbejde med. Men som vi har set, skaber denne begrænsning sjove udfordringer at håndtere. Den antikke græker Diofant er så berømt for at undersøge disse spørgsmål, at han har fået en hel del matematik opkaldt efter sig.

Nogle klassiske eksempler på diofantiske ligninger er udforskning af heltalsløsninger til ligninger som ax + by = c og a^2 + b^2 = c^2, og undersøgelse af, hvornår man kan skrive et heltal som summen af ​​to kvadrater.

Afstemningssystemer

Hvis der er 99 personer, der stemmer, og to kandidater, A og B, at stemme på, er afstemningen ret ligetil – den, der får 50 eller flere stemmer, vinder. Det bliver endnu vanskeligere, hvis der er et lige antal personer, der stemmer, og der er uafgjort. Selv for 99 personer er der filosofisk set et problem, hvis 50 personer knap nok foretrækker A frem for B, og 49 personer synes, det er utænkeligt dårligt at vælge A. Burde A vinde? I stedet for at stemme på A eller B, burde man så kunne tildele en brøkdel af præferencen til hver kandidat?

Det bliver meget vanskeligere, hvis der er tre eller flere kandidater. Der er mange måder at håndtere denne situation på, og de kan være sjove at udforske med børn. Udforsk situationer, hvor valget ikke ender, som I gerne ville have det. Antag, at der er 20 personer, der stemmer på 4 kandidater A, B, C og D.

* Mulighed 1: Hvis ingen får et flertal af stemmerne, har de to med flest stemmer et omvalg. Antag, at A og B hver får 6 stemmer, og C og D hver får 4 stemmer. Der kan være nogle uheldige konsekvenser, hvis f.eks. alle de mennesker, der stemte på D, ville have stemt på C, hvis D ikke havde stillet op. Dette krav kan føre til at betale for et dyrt omvalg, hvor langt færre vælgere typisk stemmer.

* Mulighed 2: Kandidaten med flest stemmer vinder. Antag, at A får 6 stemmer, B og C får 5 stemmer, og D får 4 stemmer. Var A virkelig et så populært valg? I 2024 vandt en kongreskandidat et primærvalg i Arizona med lidt under en fjerdedel af stemmerne.

* Mulighed 3: Rangordnet valg (også kaldet øjeblikkelig afstemning). Dette system bruges i Alaska, Maine og i en række andre jurisdiktioner. I dette system rangerer hver vælger alle kandidaterne efter deres præference. Hvis én kandidat har et flertal af førstepladsstemmerne, vinder de. Hvis ikke, fjernes den kandidat med færrest førstepladsstemmer (det er, som om de aldrig har været med i valget), og alle vælgere, der valgte den pågældende kandidat som førstevalg, anses nu for at have stemt på deres andetvalg. Denne proces fortsættes efter behov, indtil der er truffet et valg. Den største ulempe ved dette system er, at det er mere kompliceret for vælgerne at forstå og at træffe velovervejede valg ved at rangordne alle kandidaterne.

Der er en fare med de to første muligheder for, at tredjepartskandidater ikke vil stille op, fordi de kan fungere som spoilere for en af ​​de to hovedkandidater. Ved præsidentvalget i 2000 er det en udbredt opfattelse, at Ralph Naders opstilling som tredjepartskandidat ændrede valgresultatet – det kan selvfølgelig være vanskeligt at se på alternative universer og analysere "hvad nu hvis".

Wrap Up

Jeg håber, at du får glæde af at se på nogle af disse emner til afstemning med dit barn. Jeg er klar over, at disse eksempler dækker en række matematiske færdigheder – jeg håber, at dit barn vil få glæde af at udforske dem, der fungerer godt for dem.

Op til endnu fem år med forbedring af tidlig matematikundervisning! Det har været en meget givende rejse for mig!