Ødelagt lommeregner – 2
Du har en lommeregner, der er slemt i stykker. Dens eneste taster, der virker, er 4, 7 og +. Med denne begrænsede funktion er det stadig muligt at lave bestemte tal. For eksempel:
15 = 7 + 4 + 4
25 = 7 + 7 + 7 + 4.
UDFORDRINGEN
Denne lommeregner kan ikke lave 1, 2, 3, 5 og 6. Find det største tal, som denne lommeregner ikke kan lave.
UDFORSKNING
Erstat 4 og 7 med andre talpar. Beskriv nogle mønstre i det, du ser.
Noter
UDFORDRINGEN & UDFORSNINGEN
Dette er mere vanskeligt end hvad der sker i "Broken Calculator - 1". Den involverede matematiske sætning kaldes kærligt McNugget-sætningen. Antag, at du har to relativt primtal n og m - det vil sige, at deres største fælles faktor (divisor) er 1. Sætningen siger, at du kan producere præcis halvdelen af tallene fra 1 til (n - 1) x (m - 1) som summer af positive multipla af n og m, og at startende med (n - 1) x (m - 1) kan du producere alle tal derefter.
Ved at anvende denne sætning på 4 og 7, ved vi, at vi kan producere halvdelen af tallene op til (4 – 1) x (7 – 1) = 18, og at vi fra da af kan lave alle tal. Lad os se, hvordan det fungerer i dette særlige tilfælde.
- 1 = Umuligt
- 2 = umulig
- 3 = umulig
- 4 = 4
- 5 = umulig
- 6 = umulig
- 7 = 7
- 8 = 4 + 4
- 9 = umulig
- 10 = umulig
- 11 = 4 + 7
- 12 = 4 + 4 + 4
- 13 = umulig
- 14 = 7 + 7
- 15 = 4 + 4 + 7
- 16 = 4 + 4 + 4 + 4
- 17 = umulig
- 18 = 4 + 7 + 7
Uden at forstå nogen form for avanceret talteori, vil den frygtløse opdagelsesrejsende måske bemærke, at halvdelen af tallene fra 1 til 18 er mulige, og den anden halvdel er umulige. De vil måske også bemærke mønsteret, at x er muligt præcis, når 17 - x er muligt.
Et andet mønster at bemærke er, at ethvert fælles multiplum af de to tal vil dividere alle summerne af multiplerne af de to tal. Det betyder, at hvis de to tal har et fælles multiplum større end 1, vil der være et uendeligt antal tal, som ikke kan produceres af den pågældende lommeregner. For eksempel vil kombinationer af 4 og 6 aldrig give et ulige tal.