Lige summer – 2
UDFORDRINGEN
Her er et diagram lavet ved at overlappe tre cirkler. De overlappende cirkler skaber seks områder. Indsæt et tal i hvert af de seks områder, og brug hvert af tallene 1 til 6 præcis én gang, så summen af tallene i hver cirkel er den samme.
UDFORSKNING
Hvor mange forskellige svar kan du finde? Hvordan ved du, at du har fundet dem alle?
Noter
UDFORDRINGEN & UDFORSNINGEN
Her er de fire løsninger. For at se, hvorfor disse er de eneste, lad A, B og C være de tre områder, hvor to cirkler skærer hinanden, og lad Sum være den fælles sum for de tre cirkler. Beregn den samlede sum på to måder. Som summen af de tre cirkler er summen 3 x Sum. Som summen af alle seks tal plus A, B og C er summen 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. De to ting er ens, så det giver os 3 x Sum = 21 + A + B + C. Dividerer vi med 3, har vi Sum = 7 + (A + B + C)/3.
For at Sum kan være et heltal i denne sidste ligning, skal A + B + C være lige deleligt med 3. Dette giver kun fire muligheder for A + B + C – det er enten 6, 9, 12 eller 15, og de tilsvarende værdier for Sum er 9, 10, 11 eller 12.
De fire løsninger, der er givet her, har sumværdier på 9, 10, 11 og 12. Som vi skal se, er dette alle løsningerne!
For at spare noget arbejde skal du bemærke, at hvis vi tager én løsning og trækker alle værdierne fra 7, får vi en anden løsning. Bemærk også, at den nye løsning vil have en sumværdi, der er 21 – (gammel sum). Derfor giver løsningerne for sumværdierne 9 og 10 os løsningerne for sumværdierne 11 og 12.
Hvis A + B + C = 6, så er A, B og C 1, 2 og 3, og Sum = 9. Det er løsningen øverst til venstre.
Hvis A + B + C = 9, så er Sum = 10, og (A, B, C) er (1, 2, 6), (1, 3, 5) eller (2, 3, 4). Hvis du tjekker det, er (1, 2, 6) og (2, 3, 4) umulige. Dette efterlader løsningen øverst til højre som den eneste Sum = 10-løsning.
Hvis du sammenligner "Lige summer - 2" med "Magiske trekanter - 1", vil du se, at det er den samme gåde!