Perfekte rektangler – 1
Et rektangel, der kan fyldes med firkanter, hvoraf ingen har samme størrelse, kaldes et perfekt rektangel. Her er et eksempel på et perfekt rektangel på 47 x 65 fyldt med 10 firkanter i forskellige størrelser.
UDFORDRINGEN
Find størrelserne på kvadraterne i dette perfekte rektangel på 33 x 32, der er fyldt med 9 kvadrater.
Noter
UDFORDRINGEN
Dine elever kan måle diagrammet omhyggeligt for at finde størrelserne, men forhåbentlig vil de i stedet nyde udfordringen med at løse problemet.
Et godt sted at starte er med de seks firkanter i nederste venstre hjørne.
Lad n være størrelsen af det mindste kvadrat, og x størrelsen af kvadratet i midten af den nederste række (kald det MB forkortet).
De firkanter, der omgiver den mindste firkant, øges i størrelse med n, efterhånden som de går rundt om den mindste firkant. Firkanten oven på MB har størrelse x – n, og firkanten i nederste venstre hjørne har størrelse x + n. Firkanten i nederste højre hjørne har også den samlede størrelse af MB og firkanten oven på MB, så dens størrelse er x + (x – n) = 2x – n. Størrelserne af firkanterne i den nederste "række" i dette diagram lægges til 32, så 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x, hvilket betyder x = 8.
Stakken langs den nederste venstre side er (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n høj. Stakken med tre firkanter i den nederste midterste er x + (x -n) + midterste firkant = 2x – n + midterste firkant. Fordi 2x + 3n = 2x – n + midterste firkant, er den midterste firkant 4n i størrelse. Hvis n er 2, ville vi have to firkanter af størrelse 8. Hvis n er 3 eller større, ville den midterste firkant være for stor. Så n = 1.
Med x = 8 og n = 1, og når man kender rektanglets størrelse som 33 gange 32, sker udfyldningen af resten af kvadraterne automatisk.
