Udfyldning af trekanter med trekanter
En regulær trekant er en, hvis sider og vinkler alle er lige store (den er ligesidet og ligevinklet). Sådan udfylder du en stor regulær trekant med 1, 4 eller 7 regulære trekanter.
UDFORDRINGEN
Find andre tællinger af regulære trekanter til at fylde en stor regulær trekant. Kan du gøre det for 2, 3, 5, 6, 8, 9 eller 10 regulære trekanter?
UDFORSKNING
Find, når det er muligt, mere end én måde at få nogle af disse tal på.
Noter
UDFORDRINGEN
Her er en systematisk måde at opbygge forskellige tællinger på.
Kvadrater: Et godt sted at starte er med kvadrattal. Det er nemt at udfylde en trekant med 1, 4 og 9 trekanter ved at udfylde den med det almindelige mønster, der bruges i den følgende illustration.
Lige tal: Efter lidt eksperimentering kan du lave mønstre for 6, 8, 10 eller et hvilket som helst andet større lige tal som følger. Start med en stor trekant, og sæt derefter mindre trekanter langs den ene side.
Udskiftning af én trekant: Det næste store skridt er at se, at enhver trekant i en løsning kan erstattes af enhver anden eksisterende løsning. For eksempel blev dette gjort i forbindelse med fremstillingen af mønsteret for 7 i introduktionen – trekanten i midten for "4" blev erstattet med fire mindre trekanter for at producere "7".
Når én trekant erstattes af fire trekanter, øges det samlede antal trekanter med 3. Start med listen over løsninger ved hjælp af kvadrattal og lige tal: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 og 16, og tilføj derefter 3 til hver post på listen for at få 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 og 17. Kombinationen af disse to lister giver alle mulighederne op til 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 og 17. Ved at bruge disse ideer er ethvert tal over 17 let nok, og derfor når vi til konklusionen, at:
Svar: Alle tal er mulige undtagen 2, 3 og 5.
UDFORSKNING
Nogle af disse tal kan produceres på mere end én måde. For eksempel kan 9 laves som et 3 gange 3-mønster eller som 6 plus tre mere. Der er selvfølgelig andre interessante måder at udfylde en trekant på.