Finde firkanter – 1
I dette gitter er der tegnet med rødt to 1 x 1-kvadrat og et 2 x 2-kvadrat med vandrette og lodrette sider.
UDFORDRINGEN
Find antallet af kvadrater af alle størrelser med vandrette og lodrette sider i dette gitter.
UDFORSKNING
Leg med endnu større gitre. Kan du finde en systematisk måde at tælle alle kvadraterne på? Hvordan ændrer dit svar sig, hvis det overhovedet ændrer sig, hvis punktgitteret er et rektangel, der ikke er et kvadrat?
Noter
UDFORDRINGEN
De mulige kvadrater har sidelængder fra 1 op til 4.
For hver kvadratstørrelse skal du tænke på det øverste venstre hjørne som startpositionen. Du kan frembringe alle kvadrater af denne størrelse i gitteret ved at flytte dette startkvadrat rundt. Du har valget mellem at flytte det til højre eller ned det resterende antal positioner. Disse er uafhængige valg, så du får i anden kvadrat af den størrelse kvadrat.
For eksempel, lad os antage, at du tæller 1 gange 1 firkanter i dette 4 gange 4 gitter. En 1 gange 1 firkant i øverste venstre hjørne kan forskydes 1 eller 2 til højre og 1 eller 2 ned. Så der er 3 mulige positioner vandret (medregnet den oprindelige position) og 3 mulige positioner lodret. Således er der 3 x 3 af disse 1 gange 1 firkanter.
For det oprindelige 4 gange 4 gitterproblem giver dette følgende antal:
- 1 gange 1 firkanter: 3 x 3 = 9
- 2 gange 2 firkanter: 2 x 2 = 4
- 3 gange 3 firkanter: 1 x 1 = 1.
Der er i alt 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 mulige firkanter.
UDFORSKNING
For ethvert kvadratgitter vil det samlede antal kvadrater være summen af kvadrattallene, der er mindre end gitterets størrelse. For eksempel vil et 7 x 7 gitter have 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 kvadrater.
Rektangulære gitre er næsten lige så lette at tælle. Den mindste af rektanglets to dimensioner vil begrænse den maksimale størrelse af de mulige kvadrater. Tæl dem på samme måde som i tilfældet med det kvadratiske gitter. I stedet for at gøre det generelle tilfælde, lad os blot tage et illustrativt eksempel.
Forestil dig, at du tæller firkanterne i et 5 x 7 gitter. Fordi der kun er 5 rækker, kan ingen firkant være større end 4 x 4.
- 1 gange 1 firkanter: 4 x 6 = 24
- 2 gange 2 firkanter: 3 x 5 = 15
- 3 gange 3 firkanter: 2 x 4 = 8
- 4 gange 4 firkanter: 1 x 3 = 3
Det samlede antal firkanter er 24 + 15 + 8 + 3 = 50.