Selvbeskrivende tal – 2
Tallet 1210 er et selvbeskrivende tal, fordi hvert ciffer i rækkefølge beskriver, hvor mange cifre af den type der er – der er 1 0, 2 enere, 1 2 og 0 3'ere. Tilsvarende er 2020 et selvbeskrivende tal, fordi det har 2 0'er, 0 enere, 2 2'ere og 0 3'ere.
UDFORDRINGEN
Find et selvbeskrivende tal med syv cifre.
UDFORSKNING
Hvorfor er der ingen selvbeskrivende tal med 6 cifre?
Noter
UDFORDRINGEN & UDFORSNINGEN
En legende, uorganiseret tilgang til dette er fin og bør opmuntres.
Her er nogle nyttige resultater fra noterne om selvbeskrivende tal – 1:
Resultat 1: Summen af cifrene er antallet af cifre.
Resultat 2: Summen af produkterne er antallet af cifre.
Resultat 3: Det yderste højre ciffer af lavere orden, enerscifferet, er 0.
Resultat 4 & 5: Cifferet af højere orden er mindst 2 for tal med mindst fem cifre.
Der er en grundlæggende spænding mellem resultaterne 1 og 2. For at holde disse summer de samme, skal der være en stigning i 0'erne. For eksempel skal der for hver 2 være et ekstra 0, for hver 3 skal der være to ekstra 0'er, for hver 4 skal der være tre ekstra 0'er, og så videre. Derfor har de fleste selvbeskrivende tal mange 0'er.
Antag, at det højere ordensciffer er 2, så der er kun to 0'er. For et femcifret tal betyder det, at der er tre cifre, der ikke er nul. I Selvbeskrivende Tal – 1 fandt vi, at den eneste løsning var 21200. For et sekscifret tal ville der være fire cifre, der ikke er nul. Da cifrene skal lægges sammen til seks, ville det tvinge tallet til at have to 1'ere og to 2'ere. Ingen af måderne at blande to 1'ere og to 2'ere fungerer. Det samme sker igen og igen for længere tal, der har to 0'er. Dette giver:
Resultat 6: Cifferet af høj orden er mindst 3 for tal med mindst seks cifre.
Lad os lege videre med antallet af 0'er. Hvad ville være for mange? Antag, at antallet af 0'er er inden for tre af det samlede antal cifre. Det ville efterlade højst to cifre mere, der ikke er nul. Et af disse ville være et 1 for det store 0-tal. Den eneste anden mulige indtastning, der ikke er nul, skulle være for antallet af 1'ere, hvilket ikke vil fungere. Vi får endnu et resultat:
Resultat 7: For tal med mindst seks cifre skal antallet af poster, der ikke er nul, være mere end 3.
Hvis du kombinerer resultaterne 6 og 7, vil du se, at der ikke kan være nogen løsninger for sekscifrede tal. Det er overraskende, at dette virker for selvbeskrivende tal, der har 5 eller 7 cifre, men ikke for tal, der har 6 cifre.
For 7-cifrede tal garanterer resultaterne 6 og 7 tilsammen, at hvis der er en løsning, er antallet af 0'er 3. De andre poster i tallet skal i alt være 4. Et par hurtige eksperimenter fører hurtigt til svaret.
Svaret er 3211000!