Δραστηριότητες για οικογένειες

Εισαγωγή

Φανταστείτε ένα τραπέζι μπιλιάρδου που έχει μια τσέπη σε κάθε γωνία. Όταν μια μπάλα αναπηδά από την πλευρά του τραπεζιού, αναπηδά μακριά με την ίδια γωνία από την οποία μπήκε μέσα. Αν πυροβολήσουμε μια μπάλα υπό γωνία 45 μοιρών από την κάτω αριστερή γωνία, πού θα καταλήξει; Η απάντηση εξαρτάται από το μέγεθος του τραπεζιού. Στα δεξιά απεικονίζεται τι συμβαίνει σε ένα τραπέζι 3 επί 4.

Δώστε στο παιδί σας ένα σχέδιο ενός τραπεζιού και προκαλέστε το να προβλέψει ποια γωνία θα χτυπηθεί πρώτη και πόσες αναπηδήσεις θα χρειαστούν πριν φτάσει σε αυτήν τη γωνία.

Ανάλυση

Ξεκινήστε αφήνοντας το παιδί σας απλώς να παίξει με αυτό και μην βιαστείτε να ανακαλύψετε αποτελέσματα. Όπως θα δείτε, αυτό το πρόβλημα περιλαμβάνει κάποιες εξελιγμένες ιδέες για ένα νεαρό άτομο. Αν χρειαστεί, κάντε μία ή δύο ερωτήσεις για να δώσετε στη σκέψη του λίγο περισσότερη δομή. Ξέρετε τι έρχεται – κοιτάξτε πρώτα απλούστερους πίνακες για να αναζητήσετε μοτίβα – όταν αυτή η ιδέα γίνει αυτόματη για το παιδί σας, αυτό θα του χρησιμεύσει καλά για το υπόλοιπο της ζωής του!

Οι απλούστεροι πίνακες είναι 1 επί n και είναι εύκολο να κατανοηθούν. Παίζοντας με μερικές τιμές του n, το μοτίβο αναδύεται γρήγορα. Είναι εύκολο να υποτιμήσουμε ένα απλό αποτέλεσμα όπως αυτό. Ωστόσο, οποιοδήποτε πλήρως κατανοητό αποτέλεσμα πρέπει να γιορτάζεται και αυτό το αποτέλεσμα θα οδηγήσει σε άλλα.

Αποτέλεσμα 1 από τον πίνακα n: Η μπάλα θα δεχθεί n-1 αναπηδήσεις. Η μπάλα θα καταλήξει στην κάτω δεξιά γωνία αν το n είναι ζυγός αριθμός και στην πάνω δεξιά γωνία αν το n είναι περιττός αριθμός.

Οι επόμενοι απλούστεροι πίνακες είναι 2 επί n. Τα μοτίβα εδώ είναι λίγο πιο περίπλοκα. Η καλή τήρηση αρχείων μπορεί να κάνει μεγάλη διαφορά σε κάτι τέτοιο. Ένας παρατηρητικός πειραματιστής θα παρατηρήσει ότι ένας πίνακας 2 επί 4 συμπεριφέρεται ακριβώς όπως ένας πίνακας 1 επί 2, και ένας πίνακας 2 επί 6 ακριβώς όπως ένας πίνακας 1 επί 3. Αυτό γενικεύεται γρήγορα στο επόμενο αποτέλεσμα.

Αποτέλεσμα: Ένας πίνακας 2 επί 2xn συμπεριφέρεται ακριβώς όπως ένας πίνακας 1 επί n.

Γιατί συμβαίνει αυτό; Τι συμβαίνει; Πρόκειται για μια μαθηματική διαδικασία που πρέπει να ενσταλάξετε στο παιδί σας – αναζητήστε μοτίβα και στη συνέχεια προσπαθήστε να τα κατανοήσετε και, με αυτή τη νέα κατανόηση, επεκτείνετε τα προηγούμενα αποτελέσματά σας.

Αυτό που συμβαίνει είναι ότι οι αναπηδήσεις σε ένα τραπέζι δεν αλλάζουν αν μεγεθύνετε και τις δύο διαστάσεις κατά τον ίδιο παράγοντα. Όταν γίνει αυτό, ο πίνακας είναι μεγαλύτερος αλλά η γεωμετρία παραμένει η ίδια. Σε όρους γεωμετρίας, οι δύο πίνακες λέγονται «παρόμοιοι».

Αποτέλεσμα Ένας πίνακας kxm by kxn συμπεριφέρεται ακριβώς όπως ένας πίνακας m by n.

Έχουμε φτάσει εδώ με μικρά βήματα, αλλά αυτό είναι ένα ΜΕΓΑΛΟ αποτέλεσμα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να ξεκινήσουμε την ανάλυσή μας σε οποιονδήποτε πίνακα αφαιρώντας πρώτα οποιονδήποτε κοινό παράγοντα.

Συνεχίζοντας από εκεί που σταματήσαμε για τους πίνακες 2 επί n. Καταλαβαίνουμε τι συμβαίνει όταν το n είναι άρτιο, αλλά τι συμβαίνει όταν το n είναι περιττό; Τι συμβαίνει για το 2 επί n για n = 1, 3, 5, 7, και ούτω καθεξής; Το μοτίβο γίνεται γρήγορα εύκολο να το δούμε.

Αποτέλεσμα Όταν το n είναι περιττός αριθμός, ένας πίνακας 2 επί n έχει n αναπηδήσεις και καταλήγει στην επάνω αριστερή γωνία.

Έχει σημειωθεί μεγάλη πρόοδος. Το να πειραματιστούμε με περισσότερα παραδείγματα οδηγεί σε περισσότερα μοτίβα.

Αποτέλεσμα Εάν το n δεν είναι πολλαπλάσιο του 3, ένας πίνακας 3 επί n έχει n+1 αναπηδήσεις και καταλήγει στην επάνω δεξιά γωνία εάν το n έχει υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθεί με το 3, και στην κάτω δεξιά γωνία εάν το n έχει υπόλοιπο 2 όταν διαιρεθεί με το 3. Εάν το n είναι περιττός αριθμός, ένας πίνακας 4 επί n έχει n + 2 αναπηδήσεις και καταλήγει στην επάνω αριστερή γωνία. Εάν το n δεν είναι πολλαπλάσιο του 5, ένας πίνακας 5 επί n έχει n+3 αναπηδήσεις και καταλήγει στην επάνω δεξιά γωνία όταν το n είναι περιττός αριθμός και στην κάτω δεξιά γωνία όταν το n είναι ζυγός αριθμός.

Σε αυτό το σημείο, μπαίνουμε στον πειρασμό να εξετάσουμε τα δεδομένα, να δούμε κάποια μοτίβα και να κάνουμε κάποιες εικασίες.

Εικασία

Υποθέστε ότι τα k και n δεν έχουν κοινούς παράγοντες. Τότε ο πίνακας ak επί n θα έχει k + n – 2 αναπηδήσεις. Θα τελειώνει στην επάνω αριστερή γωνία αν το k είναι άρτιος. Θα τελειώνει στην επάνω δεξιά γωνία αν το k είναι περιττός και το n είναι περιττός, και στην κάτω δεξιά γωνία αν το k είναι περιττός και το n είναι άρτιος.

Ουάου – αν αυτή η εικασία είναι αληθής, τότε έχουμε λύσει πλήρως αυτό το πρόβλημα! Ξέρετε τι έρχεται... Ας δούμε αν μπορούμε να εξηγήσουμε γιατί αυτή η εικασία θα έπρεπε να είναι αληθής (ή να ανακαλύψουμε ότι είναι ψευδής).

Αν και υπάρχουν και άλλοι τρόποι για να κατανοήσουμε αυτήν την κατάσταση, όπως συμβαίνει μερικές φορές, αυτό που κάνει αυτό το πρόβλημα πολύ πιο εύκολο στην κατανόηση είναι μια νέα ιδέα. Μπορεί να μην σας περάσει από το μυαλό, αλλά μόλις το δείτε πιθανότατα θα εκπλαγείτε. Η ιδέα είναι να ξεδιπλώσετε το τραπέζι έτσι ώστε η μπάλα να μπορεί να κινείται σε ευθεία γραμμή! Να τι θα συμβεί αν ξεδιπλώσουμε το αρχικό τραπέζι 3 επί 4 και κάνουμε την πορεία της μπάλας σε ευθεία γραμμή.

Το να δούμε ότι η εικασία είναι αληθής είναι πολύ πιο εύκολο τώρα. Οι αναπηδήσεις αντιστοιχούν σε διασταυρούμενες γραμμές – υπάρχουν (k – 1) γραμμές που πρέπει να διασταυρωθούν προς τη μία κατεύθυνση και (n – 1) γραμμές που πρέπει να διασταυρωθούν προς την άλλη κατεύθυνση, οπότε μαζί έχουμε ένα σύνολο (k – 1) + (n – 1) = k + n – 2 γραμμές που πρέπει να διασταυρωθούν. Το να δούμε σε ποια γωνία καταλήγει είναι θέμα παρακολούθησης της εξέλιξης των πραγμάτων. Τελειώσαμε τώρα με ένα αρκετά ενδιαφέρον ταξίδι.

Οι έρευνες έχουν σκοπό να τις χρησιμοποιεί το παιδί σας για να παίζει και να τις σκέφτεται. Αφήστε το παιδί σας να τις εξερευνήσει αναζητώντας ενδιαφέροντα μοτίβα και όμορφες σχέσεις. Αντισταθείτε στον πειρασμό να αποκαλύψετε τι συμβαίνει και να δώσετε την απάντηση. Εάν το παιδί σας φαίνεται να έχει φτάσει σε αδιέξοδο, προτείνετέ του να επιστρέψει στην έρευνα σε μελλοντική στιγμή για να παίξει ξανά μαζί της.

Πολλές έρευνες ωφελούνται από την οργάνωση των αποτελεσμάτων και αυτό είναι κάτι εξαιρετικό για να βοηθήσετε το παιδί σας. Βοηθήστε το να φτιάξει πίνακες, σχέδια ή οτιδήποτε μπορεί να το βοηθήσει να δει πιο εύκολα τι συμβαίνει. Και φυσικά, είναι απολύτως σωστό να του δίνετε απαλά σκουντήγματα κατά καιρούς προς τη σωστή κατεύθυνση. Να θυμάστε ότι το παιδί σας θα μάθει πολλά αναπτύσσοντας επιμονή και μαθαίνοντας πώς να εξετάζει πιο βαθιά τα πράγματα.