Αποφυγή ορθογωνίων – 2
Τα Χ σε ένα πλέγμα μπορούν να γίνουν οι γωνίες ορθογωνίων με οριζόντιες και κάθετες πλευρές. Τα Χ σε αυτό το πρώτο πλέγμα σχηματίζουν δύο ορθογώνια. Ωστόσο, ο στόχος είναι να αποφευχθεί η δημιουργία ορθογωνίων. Τα Χ στο δεύτερο πλέγμα τοποθετούνται έτσι ώστε να αποφεύγεται ο σχηματισμός ορθογωνίων.
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Τοποθετήστε όσο το δυνατόν περισσότερα Χ σε αυτό το πλέγμα 4 επί 4 και αποφύγετε τη δημιουργία ορθογωνίων.
ΕΡΕΥΝΑ
Ποιο είναι το μέγιστο που μπορείτε να έχετε για άλλα μεγέθη πλεγμάτων; Βλέπετε κάποια μοτίβα στις απαντήσεις σας;
Σημειώσεις
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Η επίλυση αυτού του προβλήματος γενικά είναι ένα πολύ δύσκολο, άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά. Ωστόσο, αυτό δεν πρέπει να εμποδίζει έναν μαθητή να πειραματιστεί με αυτό και να μάθει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα στην πορεία.
Ας υποθέσουμε ότι το πλέγμα έχει m γραμμές και n στήλες. Στο "Αποφυγή ορθογωνίων - 1", βρήκαμε τα ακόλουθα αποτελέσματα για τις καλύτερες απαντήσεις.
1η και 2η σειρά: Είχαμε m + n – 1 X
3 σειρές: Είχαμε m + n X χρησιμοποιώντας ένα αρχικό διάγραμμα για ένα πλέγμα 3 επί 3 που έμοιαζε με το ακόλουθο διάγραμμα. Χρησιμοποιώντας αυτό το διάγραμμα, αν είχαμε 3 σειρές με περισσότερες στήλες, μπορούμε απλώς να προσθέσουμε ένα μόνο X σε κάθε νέα στήλη.
Η περίπτωση 3 επί 3 απαιτούσε μια διαφορετική προσέγγιση από τη στρατηγική 1 και 2 γραμμών, και είναι δελεαστικό να σκεφτεί κανείς ότι τα παραδείγματα με 4 ή περισσότερες γραμμές θα απαιτήσουν επίσης κάποια νέα σκέψη. Για να πούμε το προφανές, θέλουμε να δημιουργήσουμε μια συλλογή στηλών που δεν μοιράζονται ποτέ ένα ζεύγος γραμμών με Χ σε αυτές.
Μια στρατηγική είναι να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία στην αριστερή στήλη εκτός από το κάτω τετράγωνο, και στη συνέχεια οι υπόλοιπες στήλες να έχουν ένα X στην κάτω σειρά και ένα X σε μια άλλη σειρά. Αυτό θα λειτουργεί πάντα και παράγει (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X για ένα τετράγωνο πλέγμα m επί m. Αυτή η μέθοδος συμπλήρωσης του τετραγώνου μπορεί στη συνέχεια να επεκταθεί (προσθέτοντας ένα μόνο X σε κάθε νέα στήλη) σε οτιδήποτε έχει m σειρές για να δώσει 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X, όταν m < n. Αυτός ο τύπος λειτουργεί για όλες τις απαντήσεις για οποιοδήποτε πλέγμα μεγέθους (με περισσότερες από 1 σειρές) μέχρι στιγμής.
ΕΡΕΥΝΑ
Ψάχνοντας για τις καλύτερες απαντήσεις στο διαδίκτυο, φαίνεται ότι μπορείτε να κάνετε 12 X για την θήκη 5 επί 5 (την οποία μπορείτε να αποκτήσετε χρησιμοποιώντας το πατρόν) και στη συνέχεια 16 X για την θήκη 6 επί 6 (φαίνεται εδώ).
Μετά από αυτό, οι αριθμοί που ξεκινούν από 7 επί 7 με τη σειρά είναι: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 και 122. Οι μαθηματικοί έχουν κάνει πολλές ενδιαφέρουσες εξερευνήσεις για το πώς λειτουργούν αυτά, και οι δικοί σας μαθηματικοί μπορούν να διασκεδάσουν πολύ με αυτό!
