Χαλασμένη Αριθμομηχανή – 2
Έχετε μια αριθμομηχανή που είναι άσχημα χαλασμένη. Τα μόνα πλήκτρα που λειτουργούν είναι το 4, το 7 και το +. Με αυτήν την περιορισμένη δυνατότητα, εξακολουθεί να είναι δυνατό να δημιουργήσετε ορισμένους αριθμούς. Για παράδειγμα:
15 = 7 + 4 + 4
25 = 7 + 7 + 7 + 4.
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Αυτή η αριθμομηχανή δεν μπορεί να σχηματίσει τους αριθμούς 1, 2, 3, 5 και 6. Βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό που δεν μπορεί να σχηματιστεί από αυτήν την αριθμομηχανή.
ΕΡΕΥΝΑ
Αντικαταστήστε το 4 και το 7 με άλλα ζεύγη αριθμών. Περιγράψτε μερικά μοτίβα από αυτά που βλέπετε.
Σημειώσεις
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ & Η ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ
Αυτό είναι πιο περίπλοκο από αυτό που συμβαίνει στο "Broken Calculator - 1". Το μαθηματικό θεώρημα που εμπλέκεται ονομάζεται με αγάπη Θεώρημα McNugget. Ας υποθέσουμε ότι έχετε δύο σχετικά πρώτους αριθμούς n και m - δηλαδή, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους (διαιρέτης) είναι 1. Το θεώρημα λέει ότι μπορείτε να παράγετε ακριβώς τους μισούς αριθμούς από το 1 έως το (n - 1) x (m - 1) ως αθροίσματα θετικών πολλαπλασίων του n και του m, και ότι ξεκινώντας από το (n - 1) x (m - 1) μπορείτε να παράγετε κάθε αριθμό στη συνέχεια.
Εφαρμόζοντας αυτό το θεώρημα στους αριθμούς 4 και 7, γνωρίζουμε ότι μπορούμε να παράγουμε τους μισούς αριθμούς μέχρι (4 – 1) x (7 – 1) = 18, και ότι από τότε και στο εξής μπορούμε να παράγουμε όλους τους αριθμούς. Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό σε αυτήν την ειδική περίπτωση.
- 1 = Αδύνατο
- 2 = αδύνατο
- 3 = αδύνατο
- 4 = 4
- 5 = αδύνατο
- 6 = αδύνατο
- 7 = 7
- 8 = 4 + 4
- 9 = αδύνατο
- 10 = αδύνατο
- 11 = 4 + 7
- 12 = 4 + 4 + 4
- 13 = αδύνατο
- 14 = 7 + 7
- 15 = 4 + 4 + 7
- 16 = 4 + 4 + 4 + 4
- 17 = αδύνατο
- 18 = 4 + 7 + 7
Χωρίς να κατανοεί καμία περίτεχνη θεωρία αριθμών, ο ατρόμητος εξερευνητής μπορεί να παρατηρήσει ότι οι μισοί αριθμοί από το 1 έως το 18 είναι πιθανοί και οι άλλοι μισοί είναι αδύνατοι. Μπορεί επίσης να παρατηρήσει το μοτίβο ότι το x είναι πιθανό ακριβώς όταν το 17 – το x είναι πιθανό.
Ένα άλλο μοτίβο που πρέπει να παρατηρήσετε είναι ότι οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των δύο αριθμών θα διαιρέσει όλα τα αθροίσματα των πολλαπλασίων των δύο αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι εάν οι δύο αριθμοί έχουν κοινό πολλαπλάσιο μεγαλύτερο από 1, τότε θα υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αριθμών που δεν μπορούν να παραχθούν από αυτήν την αριθμομηχανή. Για παράδειγμα, οι συνδυασμοί του 4 και του 6 δεν θα παράγουν ποτέ έναν περιττό αριθμό.