Παζλ της εβδομάδας

Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ

Ένα πράγμα που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι για κάθε n, υπάρχει ένας περιορισμένος αριθμός πιθανών λύσεων. Αν 1/N = 1/A – 1/B, τότε 1/A – 1/N = 1/B > 0. 1/A – 1/N > 0 σημαίνει ότι N > A. Έτσι, 1 < A < N, που σημαίνει ότι υπάρχουν το πολύ N – 2 λύσεις, και μπορούν να βρεθούν, κάπως κουραστικά, ελέγχοντας όλες τις τιμές του A σε αυτό το εύρος.

Για παρονομαστές που είναι άρτιοι αριθμοί, ας πούμε 2d, υπάρχει πάντα 1/2d = 1/d – 1/2d.

Ένας άλλος τρόπος για να παράγουμε διαφορές είναι να ξεκινήσουμε με έναν τύπο πρόσθεσης. Ο απλούστερος που έχουμε είναι ότι 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Αυτό γίνεται 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Μια πιο γενική εκδοχή αυτού είναι 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] που γίνεται 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] όπου ab > 1.

Έτσι, κάθε φορά που ο παρονομαστής μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως a(a+b), με a και b θετικά και ab > 1, θα έχουμε διαφορά. Συγκεκριμένα, επειδή κάθε αριθμός n > 2 μπορεί να γραφτεί ως n = 1 x (1 + (n-1)), τότε κάθε Αιγυπτιακό Κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως διαφορά με τουλάχιστον έναν τρόπο. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

• ⅓: a = 1, b = 2 δίνει ½ – ⅙
• ¼: a = 1, b = 3 δίνει ⅓ – 1/12
• ⅕: a = 1, b = 4 δίνει ¼ – 1/20
• ⅙: a = 1, b = 5 δίνει ⅕ – 1/30· a = 2, b = 1 δίνει ½ – ⅓
• 1/7: a = 1, b = 6 δίνει ⅙ – 1/42
• ⅛: a = 1, b = 7 δίνει 1/7 – 1/56· a = 2, b = 2 δίνει ¼ – 1/8

Αυτό δεν είναι το παν. Για παράδειγμα, μας έχει διαφύγει το ⅙ = ¼ – 1/12.

Βουτώντας στην άλγεβρα, για a > 1 και b > a >1, θεωρήστε 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Η εκκαθάριση των παρονομαστών παράγει ab = n(ba), και η επίλυση ως προς n δίνει, n = ab/(ba). Όποτε μπορούμε να βρούμε τα a και b που να κάνουν αυτό να λειτουργήσει, θα μπορούμε να παράγουμε τη διαφορά.

Ας δούμε τις πλήρεις λύσεις για μερικά παραδείγματα από αυτή την άποψη και ας δούμε αν μπορούμε να εντοπίσουμε κάποιο μοτίβο.

• 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 – 3)
• 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)

Εξετάζοντας αυτά τα παραδείγματα, φαίνεται πιθανό ότι υπάρχει μόνο μία λύση όταν το n είναι πρώτος αριθμός. Ας δούμε γιατί συμβαίνει αυτό. Αν το n είναι πρώτος αριθμός και a < n, τότε το n = axb / (b – a) αναγκάζει το b να είναι πολλαπλάσιο του n, ας πούμε b = nx c. Τότε το n = ax nc / (nc – a) λέει ότι ac / (nc – a) = 1, που σημαίνει ac = nc – a. Ξαναγράφοντας αυτό παίρνουμε nc = a(c + 1). Επειδή το n είναι πρώτος αριθμός, έχουμε c + 1 = n και a = c = n – 1. Έτσι, το a = n – 1 και το b = n(n-1) είναι η μόνη λύση.